「不允许除以0」在数学中是逻辑自洽的，还是为避免出问题的而做出的强制规定？

WorldLineC204的回答

当然是逻辑自洽的，也是为了避免矛盾，逻辑自洽与“避免出问题”是不冲突的吧？“不允许除以0”，看起来是蛮不讲理的强制规定，实际上，这是一条从“0”的定义推导出来的定理，我们需要把“0”还有“除以”的概念说清楚。

假设给定了一个集合 ，在上面定义了两种二元运算 $f,g:\mathbb F\times\mathbb F\to \mathbb F$ ，分别称为加法和乘法，将简写成为 , 将简写成为 $x\times y$ . 我们要求加法和乘法满足交换律，结合律，以及分配律。然后要求存在加法单位元，记为“0”，其要求是对任意的元素有 , 可以证明是唯一的，否则假设有两个单位元 $0,\bar 0$ , 按照单位元的定义，我们有 $0+\bar 0=0=\bar 0$ .

然后我们对于任何一个 , 引入加法逆元，记为 , 满足 . 可以证明，逆元也必须是唯一的，假设对于某个有两个逆元 $-x,-\bar x$ , 则有 $-\bar x=0+(-\bar x)=(-x)+x+(-\bar x)=(-x)+0=-x$ .

利用加法逆元，我们可以证明如下命题，如果对于有 , 那么必然有 . 很显然，左右两边同时加上即可。

然后再引入乘法单位元，记为 , 满足 $1\not=0$ ,且 $x\times 1=x$ , 同样可以证明乘法单位元是唯一的【1=0的情况被排除域的公理（感谢评论区指出），此时被称为零环，可以证明零环只有一个元素，并且此时0也可以做除数（毕竟只有0一个元素），但这种情况是trivial的】。然后我们也想对于每一个元素引入乘法逆元，记为 $x^{-1}$ , 满足 $x\times x^{-1}=1$ . 但是，对于 , 这是不可能的，因为 $0\times y+y=0\times y+1\times y=(0+1)\times y=1\times y=y$ . 根据上面的命题，那么必然有对于任意 , 有 $0\times y=0$ . 可见，并不存在一个元素满足 $0\times y=1$ .

同样可以证明乘法逆元如果存在，也是唯一的。然后我们可以发现， $(-1)\times y+y=(1+(-1))\times y=0\times y=0$ , 于是根据逆元的唯一性， $-1\times y=-y$ . 然后我们定义减法， , 定义除法， $x\div y=x\times y^{-1}$ , 显然定义除法需要的逆元存在，所以 $y\not =0$ . 还能证明，如果 $x\times y=0,$ 则一定有或 . 当 $x\not=0$ 的时候，左右乘以 $x^{-1}$ 即可得证。

所以，如果强行要求0能够作除数，这相当于故意引发矛盾，在数学中是不允许的。0不能做除数，来源于加法单位元不存在乘法逆元这个定理，所以是逻辑自洽的。也避免引发了问题。

现在，满足上面所有加粗字体描述的性质（域公理）的集合 $\mathbb F$ ，称为一个域。你如果说这些性质是强行规定，你当然可以不满足其中的一些性质，但是，那就不能称为域，而是别的东西。比如，你不要求乘法逆元的存在，那就不是一个域，而是一个幺环。这时候就会有很多不同的性质了，比如并不能推出或者 . 进一步还会出现“理想”的概念。有趣的一条性质是，对于Noether环，也就是只有唯一的非0极大理想 $\mathfrak m$ ，那么可以证明 $R/\mathfrak m$ 就是域。如果你要求乘法单位元也不存在，那就成了一个不含幺的交换环。如果你要求乘法交换律也不满足，那就是一个环，而不是交换环。所以总有一种口味能满足你。