遥远地方剑星的回答

如果站在数学竞赛的角度来看，这道题算不上一道很难的题目。但是让我惊讶的是，一名初二的学生能够给出正确的答案！

首先，还是要指出题主的一点小失误（我相信这是题主录入题目时候的失误，不应该是那位初二学生的失误），那就是来自那位初二学生的解答二推导等式过程的最后一步，如下图标注红圈的部分，

这一步显然写错了，应该是 。

然后，谈谈我对这道题目的感受：

1、通过对数运算化乘积为求和，这属于相对常规的思路，对于受过一定数学竞赛训练的学生而言是容易想到并进行尝试的。

2、之后的泰勒级数展开，也相对容易想到，特别是考虑到 的前提条件，更容易让人向这个方向尝试。

3、就寻求取到等号的充要条件而言，需要多思考一下。令 k 变得足够大从而可以忽略掉其它绝对值较小的 算得上是一个巧妙的思路。

总体而言，这道题目是一道中规中矩的竞赛用数学题。

最后，我要说的是，一个初二的学生能够给出如此思路清晰、过程完整的证明，确实让我刮目相看。毕竟，这道题目涉及到的数学知识远远超过初中二年级的要求。这道题涉及到了泰勒级数展开，涉及到了极限，涉及到了对高阶无穷小的认识的敏感性，对于初中学生来说很不容易。我想绝大多数初中生可能连上述答案都看不懂，更甭提给出解答了。

我总是在想，中国人其实足够的聪明，人口基数足够大，所以我们有很多很好的适宜从事数学研究、科学研究的苗子。可惜的是我们缺少这样的环境，我们的文化中有着过于功利主义的缺点，缺少探索未知的好奇心与情怀，导致新中国成立70年、改革开放40多年了，我们仍然没有在本土成长出足够多的世界级的数学家和科学家。这其实挺遗憾的。

祝愿像这位初二学生一样的年轻人，都能够在未来自己适宜的领域充分的成长发展，这样的人多了，我们国家的基础研究才有希望！