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如何评价2021年1月23日八省联考数学试卷?

rq cen的回答

第1题:

只要知道集合中补集和并集的定义,能够熟练画出韦恩图就可以直接解决,用不到任何“次级”公式定理:

根据条件CRM包含于N画出左图:红圈里是N,蓝圈里是CRM,蓝圈外的绿色就是M,可以看出,N包含于M。

于是再画出右图:M就是蓝圈外全部绿色,CRN是红圈外全部黑色,可以看出CRN包含于M,于是M∪(CRN)=M

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第2题

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3个同学3张卡片,把所有情况罗列出来即可,不需要任何次级公式

类型1:3个人恰好都拿到自己的名字:1种情况

类型2:2个人拿到对方的名字,1个人拿到自己的名字,也就是题目问的概率,有3种情况,分别为A或B或C拿到自己的名字,另2人互相拿错

类型3:3个人轮替拿错,2种可能:A拿B、B拿C、C拿A。或A拿C、C拿B、B拿A。

总共有1+3+2=6种情况,类型2有3种,于是概率为3/6=1/2


第3题

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看完甲乙丙丁可以发现,如果甲和乙都是真的,则x1=1,x2=3,那么丙(应该x1+x2=4)和丁(应该x1和x2同号)都错了。于是假命题必然是甲或乙。

再结合丙和丁,如果甲是真命题,则另一个根也是1,丁不成立。如果乙是真命题,则另一个根是-1,丁也成立。因此甲是假命题。

这道题考察逻辑推理,一元二次方程只用到最基本的定理,连韦达定理都没用到。


第4题

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根据椭圆的标准方程x^2/a^2+y^2/b^2=1和定义,可以知道a^2=m^2+1,b^2=m^2,于是c^2=a^2-b^2=m^2+1-m^2=1,于是F1(-1,0),F2(1,0),A(0,m),把这3个点画出来:

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根据简单的三角函数可以算出m=根号3


第5题

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根据a·b=0可知,a和b垂直,c是a和b的组合,直接偷懒,用a和b作为x轴和y轴,并且给a和b的模都定为1,于是a=(1,0),b=(0,1),c=(根号7,根号2)。

利用余弦定理求出cos=(向量a·向量c)/(a的模·c的模)=(根号7)/3,

于是sin=根号(1-7/9)=根号2/3


第6题

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考察二项式定理,由于项数不多,其实只要每个加起来就行

第1个平方项:1,第2个三次方项:C3,2=3,第3个四次方项c4,2=6,第4个五次方项c5,2=10,第5个六次方项:c6,2=15,第6个七次方项:c7,2=21,第7个八次方项:c8,2=28,第8个九次方项c92=36,

于是系数为1+3+6+10+15+21+28+36=120


第7题

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这道题思路很直接,但是计算复杂,硬算可以算出来,需要用平移的小技巧。

首先,把A(2,2)代入抛物线方程,可得p=1。然后会发现,圆心(2,0)和A(2,2)的纵坐标相同,因此经过A的两条切线关于竖直的y=2轴对称,现在把整个抛物线和圆都向左平移2个单位,算出结果后再向右移回去就行。向左平移两单位后,得到的抛物线为y^2=2(x+2),圆为x^2+y^2=0,图像如下y=kx-2

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根据对称性可以知道,AB和AC的斜率互为相反数,于是设AB方程为y=kx+2,AC方程为y=-kx+2。

代入圆的方程x^2+y^2=1得:x^2+(kx+2)^2=1,

展开得:(k^2+1)x^2+4kx+3=0,

由于是切线,只有一个交点,方程只有一个解,利用根的判别式=0:

16k^2-12(k^2+1)=0,

解得k=±根号3,

即y=(根号3)x+2和y=-(根号3)x+2。

两条切线的斜率知道了,现在再把图像平移回右边,斜率不会变,

于是平移回去后,两条直线的方程分别为y=(根号3)(x-2)+2和y=-(根号3)(x-2)+2,展开后分别为

y=(根号3)x-2(根号3)+2和y=-(根号3)x+2(根号3)+2

分别代入抛物线方程y^2=2x消去x,得y^2=(2/根号3)(y+2根号3-2),化成标准式为:

y^2-(2/根号3)y+4/根号3-4=0

由于已知一个解为y=2,利用韦达定理解得yB=(2/根号3)-2,代入x解得xB=(8/3-4/根号3)

用同样的方法,求得yC=-(2/根号3)-2, xC=8/3+4/根号3)

把B和C的坐标分别代入4个答案试一下,发现B符合

这题计算花时间比较多


第8题

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遇到这种指数和系数都有同一字母的,一般就对等号两边同时取对数,

对于 ae^{5}=5e^{a} ,两边同时取ln得 ln(ae^{5})=ln(5e^{a}) ,利用对数的基本运算展开:

lna+ln(e^{5})=ln5+ln(e^{a})

继续化简: lna+5lne=ln5+alne

再继续化简:lna+5=ln5+a,即a-lna=5-ln5

同理,b-lnb=4-ln4,c-lnc=3-ln3。

构造函数y=x-lnx,相当于x=a和x=5的y值相同,x=b和x=4的y值相同,x=和x=3的y值相同,

求导:y'=1-1/x,当x>1时,y递增,当0<x<1时,y递减,因此y的最小值在x=1处。

又由于a≠5,b≠4,c≠3,因此abc应该和345在不同的单调区间,因为1<3<4<5于是0<a<b<c<1。


睡觉去了,明天再更。先小结一下单选题:1-6题考查最最基础的概念定理、逻辑思维能力、以及偷懒假设数字的能力,用不到任何二级结论。第7题思路很直接,运算量超大。第8题考察比较多,需要用到两边取对数、构造函数求导(用倒数证明不等式关系)、观察对称性,属于做题比较多的话会知道的思路,都是很正统的思路,都不算偏。

重视对基础概念的理解和运用,重视对全新概念的认知和掌握,重视与现实应用的联系,不再考察死板的套路技巧、特定题型。很符合当前高考的命题取向,能较好地选拔出在大学学习中“后劲”强的学生。

特别是给出全新概念,考察学生现场理解和使用(套公式)的能力,多年前很多重点高中都用这种方式选拔真正思维逻辑和学习能力强、潜力大的学生,而不是靠死记硬背、盲目刷题的学生。

今晚和明天抽时间在本回答下把每道题目的思路挨个写一遍,都是最基础的概念和思路,基础不等于简单。

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