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数学家张益唐攻克 Landau-Siegel 零点猜想相关论文发布,如何评价这一研究的成果及意义?

gujurat的回答

今天(2022.11.05)上午,张益唐老师在山大参加了两个活动:一个学术报告,一个学术交流。期间流出了张老师的论文。本人知道的晚了,活动没能参加,但论文拿到了。

先看一下论文成果:

首先是L函数在1点处的下界估计:

张益唐2022年主要成果:下界估计

相应的有关于实轴上非零区域的直接推论:

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张益唐2022年主要成果:非零区域
  1. 相较于Siegel定理
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Siegel定理:摘自张益唐2022论文

小结:结果主要有两方面改进:一个是下界从D的负方幂改进到log D的负方幂,这是开创性的结果;另一个是常数是effecitive,说明方法上有本质变化。

2. 相较于张老师07年挂在arXiv上的结果

下界估计:

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张益唐2007年主要成果:下界估计

非零区域:

v2 0c1d8e9b2d45681da2f24aea64b12a25 1440w
张益唐2007年主要成果:非零区域

小结:结果强度上有所下降,但不改变结果本质上的意义。2022显然是个象征性的数字,预计很快会有人改进。由17放到2022,估计是为了克服以前发现的错误妥协的结果。

3. 相较于Landau-Siegel零点猜想

LS零点猜想是讨论L函数在以下区域是否存在零点:

v2 a86c55e23e84c87add1f4dc8db0cc4b4 720w
非零区域?

而LS零点不存在可以有以下关于下界估计的推论:

v2 12112c9551f56b76a35a4224055993d6 720w
下界估计

小结:

  • 完整证明LS零点不存在,是要在张老师Theorem2里面指数取到-1。所以现阶段并没有“完整”解决LS零点猜想
  • 特别需要提醒的是,下界估计和非零区域之间互相推导的逻辑关系变化。这种变化导致了,即便张老师能够证明Theorem1中下界估计的指数可以取到-1,也不能在Theorem2中非零区域的指数取到-1(只能做到-3),所以这个路线很可能无法最终解决LS零点猜想
  • 张老师承认,Theorem1里的2022可以减小,但似乎很难做到1
v2 6d55358e27c8ce5325e5b5c75d7d73a0 1440w

写在最后:

最近张益唐老师解决LS零点猜想的消息传得沸沸扬扬。一直以来,本人对这个消息都持怀疑态度。一则消息来源都是北大北美校友会的一场线上交流(昨天网上流出了这场交流的视频,一个多小时,我还没来得及看。。。)。而参与交流的人士并非数论界专业人士,甚至很多是非数学界人士,对张老师宣称的结果很可能理解有误。而国内媒体是擅长“制造”大新闻的,很有可能将这种有偏差的理解再进一步放大。二则完整解决LS零点猜想,无论是证明还是证否,未免太过惊人,已经超出了时代太多,在没有拿到确切资料的情况下很难令人信服。

现在拿到了张老师的论文和结果,反而让人安心了,成了一个很合理的事态发展。一方面结果是有革命性的改进的,可以说是划时代的结果;另一方面这个结果没有好到“吓人”,脱离时代。这样的结果反而更容易让人乐意相信其正确性。

当然论文需要专业人士进一步验证。论文从07年版的54页扩到现在22年版的111页,相信审稿会是一个大工作,而不会像13年关于孪生素数猜想的论文那样一周审完。所以子弹还得飞一会。

说起张老师13年的论文,这两个结果还真的有点像。2024相当于当年的70 000 000,都从无穷改进到有限,都是很快会被改进(估计已经有人开始着手了)。另一方面,沿着这个方向,都做不到最终的结果。孪生素数的70 000 000暂时落在了246,不知道短时间内2024能改进到什么程度。

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