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时钟指针针尖能构成正三角形吗?

确实存在这样的正三角形

可是三根表针不是不能互为 120° 吗?

这也没错

只是构成正三角形不需要互为 120°

因为顶点构成的三角形可以压根不包含圆心.

剧透下答案

v2 45c91598ee774064bdf77edd274c7567 720w

设 O 为表盘中心, 也就是原点.

设时针

的长度为

, 分针

的长度是

, 秒针

的长度是

.

分针转速是时针的 12 倍

秒针转速是分针的 60 倍

我们需要他成等边三角形


根据距离公式有

equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%26%28%5Csin+%28%5Cpi++t%29 m+%5Csin+%2812+%5Cpi++t%29%29%5E2%2B%28%5Ccos+%28%5Cpi++t%29 m+%5Ccos+%2812+%5Cpi++t%29%29%5E2%5C%5C+%3D%26%28%5Csin+%28%5Cpi++t%29 n+%5Csin+%28720+%5Cpi++t%29%29%5E2%2B%28%5Ccos+%28%5Cpi++t%29 n+%5Ccos+%28720+%5Cpi++t%29%29%5E2%5C%5C+%3D%26%28m+%5Csin+%2812+%5Cpi++t%29 n+%5Csin+%28720+%5Cpi++t%29%29%5E2%2B%28m+%5Ccos+%2812+%5Cpi++t%29 n+%5Ccos+%28720+%5Cpi++t%29%29%5E2+%5Cend%7Baligned%7D

全部展开, 把第一项减掉化简一下

equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+0%3D%26n%5E2 m%5E2%2B2+m+%5Ccos+%2811+%5Cpi++t%29 2+n+%5Ccos+%28719+%5Cpi++t%29%5C%5C+%3D%26n%5E2 2+m+n+%5Ccos+%28708+%5Cpi++t%29%2B2+m+%5Ccos+%2811+%5Cpi++t%29 1+%5Cend%7Baligned%7D

这玩意儿你敢信有整数解?

不过至少是个代数数.

因为你可以两边用 720 倍角公式展开成一个多项式, 然后实根就是你要的.


接下来不妨令

分析这个方程

equation?tex=n%5E2 2+n+%5Ccos+%28719+%5Cpi++t%29%2B2+%5Ccos+%2811+%5Cpi++t%29 1%3Dn%5E2 2+n+%5Ccos+%28708+%5Cpi++t%29%2B2+%5Ccos+%2811+%5Cpi++t%29 1

化简以后惊奇的发现

也就是说和

压根没关系

( 你别告诉我这玩意儿除了

无解, 打爆你头哦


equation?tex=f%28x%29%3D+%5Ccos+%28719+%5Cpi++x%29

画出图像

v2 5ebd72f7d53c62a39a417ac609f8c525 720w

这玩意儿根多了去了好吗, 然后你有空可以开始一个个检验这些根是不是满足等式

说实话我都不知道这些根怎么表达, 毕竟这是个七百多次方程的根


所以我选择数值求解, 最少可以搞出来这两个数值解

k m n t
1 1 1.2676871616804142 0.1723896285914506
1 1.900341028126867 1 1.8393113342898135

第一个解

, 换算成秒就是

, 换算成时间正好是 01 点 02 分 03 秒.

对应的图形是

v2 e57bce2c222b99e27d2ddf3e19978ec6 720w
01 点 02 分 03 秒

我发现这个图有个问题哦, 时间是对的, 但是这个钟不但倒下了而且还是逆时针转的.

离了个大谱

方程应该设

equation?tex=A%3D%28%5Ccos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D %5Cpi+t%2C%5Csin%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D %5Cpi+t%29%2C+0%3Ct%3C2

正常的钟应该这样显示

v2 eb47aa5905822c7d8434dfe9c7ab6437 720w

第二个解

, 换算成秒就是

, 换算成时间正好是 05 点 02 分 09 秒.

对应的图形是:

v2 084acc30b11a0e6c5dc62405e7e0387e 720w

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