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瞎扭还原魔方的概率是多少?

陈霜的回答

如果魔方是充分打乱的,那么描述里的概率相当于:

说出来你可能不信
我有一个朋友,有一天想试试运势
先是抛硬币16次,结果全都是正面
遂出门买彩票,大乐透和双色球各买了一注
过几天开奖一看,果然两注都是一等奖

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还是正面回答一下吧。

如果转动是随机的,且初始状态是随机的或转动步数足够多,那么某一刻转动完毕后检查发现还原的概率是1/43,252,003,274,489,856,000,很难显著低于它。

如果说是一直随机转动下去,那么最后会以概率1还原(因为这是一个有限联通图上的马尔可夫随机游走)。

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多补充一些魔方相关的概率

如果完全不看闭着眼睛瞎转,那么拼出完整六面的可能性约为

如果闭着眼睛瞎转,每次转完看一下是不是已还原或还差1步还原,那么拼出完整六面的可能性约为

frac{19}{12!cdot8!cdot3^8cdot2^{12} / 12} approx 4.4 times 10^{-19}

如果有能力还原一面,每次转完看一下是不是已还原或还差1步还原,那么拼出完整六面的可能性约为

frac{7}{4! * 4! * 4! * 8! * 3^4 * 2^8 / 12} approx 7.3 times 10^{-12}

如果有能力还原一层,每次转完看一下是不是已还原或还差1步还原,那么拼出完整六面的可能性约为

frac{7}{4 * 4! * 8! * 3^4 * 2^8 / 12} approx 1.0 times 10^{-9}

如果有能力还原两层,每次转完看一下是不是已还原或还差1步还原,那么拼出完整六面的可能性约为

frac{4}{4! * 4! * 3^4 * 2^4 / 12} approx 6.4 times 10^{-5}

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再顺便反对一下另一个显著小于上述数字的答案,该答案犯的主要错误有几点。

  1. “因为上述计算方法并未说清楚怎么个摆弄”这个其实是不成立的,上述计算方法其实已经说明了,随机转动即可。
  2. 该答案计算45^19背后的逻辑是:对于给定状态,存在一个19步的解法(使得该状态至多还差1步还原),某个人恰好在随机转动的过程中转到了这个解法的概率。这一逻辑的漏洞在于:
    1. 对于给定状态,19步的解法可能是不唯一的,甚至存在大量19步的解法。另外题中没有限制只能转19步,因此还需要考虑20、21及更长步数的解法。易知,当转动步数增加时,虽然可能的转动数量呈几何级数增长,但能够使该状态还原的解法数也呈几何级数增长。进一步可知,对于充分长的转动步数,解法约占总可能转动数的 1/43,252,003,274,489,856,000。
    2. 即便解法唯一,当采用45种转动时,转动方法也是不唯一的。例如“U”也可以用“d”代替。通过这样的替换,这个19步的解法至少可以写成2^19种不一样的转动。
  3. 该答案假设最后一步是可以通过肉眼来完成复原的。在这一假设下,最后计算得到的概率约为19/43,252,003,274,489,856,000(因为有19个“还原状态”)。

另外好几处说辞都存在容易产生误导的情况,这问题和上帝之数最少步真没多大关系,不用强答的。

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