这个求 sin 的代码，感觉无懈可击啊，为什么会不对呢？

Pandora Eartha的回答

不能把数学上的结论不加考虑地带到计算机来.

先回答你的这个问题, 再举一些常见的计算机数学特性.

这个泰勒展开式是完全正确的, 对一切 $x\in \text R$ 都收敛, 其实对虚数也收敛.

但是为什么带入的时候, 计算值和理论值差这么多呢?

v2 5877422caed0b1555c09067b70b1ab12 1440w

你这个函数输出的数据类型是 double , 那我们就来回忆一下 IEEE754标准中, 浮点数是怎么定义的.

浮点数是由数符S, 阶码E(移码表示), 尾数M 构成的.

对于在浮点数表示范围内的实数 , 有

$D=(-1)^S\times M\times R^{E}$ , 在这里我们规定 .

类似我们的十进制科学技术法

$dec=(-1)^A\times B\times 10^C$

例如

$\begin{align} dec&=1145141919810\\ &=(-1)^0\times1.14514191981\times10^{12} \end{align}$

二进制浮点数类似.

对于双精度(64位)浮点数来说, 其阶码为位, 且其阶码的偏置值是

所以其指数部分最大为 $2^{2046-1023}=2^{1023}$

最小为 $2^{1-1023}=2^{-1022}$ .

尾数部分是位, 省略最高位, 所以其尾数部分最大为

$2-2^{-52}$

最小为 .

这个结论告诉我们什么呢? 告诉我们, 浮点数的精度是有限的.

精度是 $2^{-52}$ ?

不对, 精度是 $2^{E}\times2^{-52}$ , 这也意味着, 在浮点数表示范围中,

一个数的绝对值如果越大, 其精度就越低.

一个数的绝对值如果越小, 其精度就越高.

因此, 如果一个数非常非常大, 大到了 $2^{1023}$ 级别, 其精度最高也只能有

$\begin{align} &2^{1023}\times(2^{-52})\\=&2^{971}\\ =&1.9958403095347198116563727130368\times10^{292} \end{align}$

而如果一个数非常小, 其精度就可以达到

$\begin{align} &2^{-1022}\\ =&2.2250738585072013830902327173324\times{10^{-308}} \end{align}$

所以, 如果你的取 , 甚至是

$\begin{align} &50!\\ =&3.0414093201713378043612608166065\times{10^{64}}\\=&30414093201713378043612608166064768844377641568960512000000000000 \end{align}$

最后都会因为运算过程中数字太大而丢失精度.

那正确的做法是什么呢?

正确的做法是利用三角函数的周期性将数据都转换为附近的数据.

比如说可以转换为

$\begin{align} \sin50=\sin (50-15\pi)=\sin2.8761 \end{align}$

进一步转换为

$\begin{align} \sin2.8761=\sin(\pi-2.8761)=\sin0.2655 \end{align}$ .

也就是说, 将所有数据都映射到 $\begin{align} [0,\frac{\pi}{2}] \end{align}$ 上.

OK, 那我们把你的代码改写一下.

先判断是否为负数.

v2 b730ef0a90a6eefb64f3f438e5a82fef 1440w

将 $[0,+\infty]$ 映射到 $[0,2\pi)$ 上

v2 fe68ef32552e879742f04fd15af92967 720w

将 $(\pi,2\pi)$ 数据映射到 $(0,\pi)$ 上.

v2 58d6641045fcd90ae283430035c922bd 720w

$\begin{align} (\frac{\pi}{2},\pi] \end{align}$ 映射到 $\begin{align} [0,\frac{\pi}{2}] \end{align}$ 上

v2 379ee5500ec03070f5bff27f04d41820 720w

import 泰勒展开

计算正确.

v2 02a795346abee698500604f088f0c2f4 1440w

v2 3e4e4fad62e7aff7e4c11f58b3f99142 1440w

计算正确

v2 709924f390bcc8f7e0f71fdd094eee22 1440w

v2 e0cbf8c357ce9ff00084b9cf0f087c6a 1440w

能精确到小数点后位.

v2 4261765434e76b1ecb29e66a5929a153 1440w

v2 04cb36a8382f4a08c2db64cd5ac6f70c 1440w

计算正确

v2 9cd273c1ea7bd40096d647aa3526f834 1440w

v2 e197e8925974e281fd4efa4d96d330f3 1440w

v2 b9a31935775a11d2c2d0fd7587cb67c3 1440w

OK, 那我们见识一下常见的计算机特性.

<img src="https://www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D+%26%5Ctext%7Bint%7D%5C+%5C+A%3D2147483647%5C%5C+%26A%2B1%3D-2147483648%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Bunsigned%7D%5C+%5C+B%3D4294967295%5C%5C+%26B%2B1%3D0%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Bdouble%7D%5C+%5C+C%3D2%5E%7B1023%7D%5Ctimes%282-2%5E%7B52%7D%29%5C%5C+%26C%2B2%5E%7B-%5Cinfty%7D%3D%2B%5Cinfty%5C%5C+%26%28-%5Cinfty+%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E8%B6%85%E7%BA%A7%E5%A4%A7%E7%9A%84%E8%B4%9F%E6%95%B0%2C+%E4%B8%8D%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%B4%9F%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Bdouble%7D%5C+%5C+D%3D2%5E%7B-1022%7D%5C%5C+%26D-2%5E%7B-%5Cinfty%7D%3D%2B0%5C%5C+%26%28-%5Cinfty+%E8%A1%A8%E7%A4%BA%E4%B8%80%E4%B8%AA%E7%BB%9D%E5%AF%B9%E5%80%BC%E8%B6%85%E7%BA%A7%E5%A4%A7%E7%9A%84%E8%B4%9F%E6%95%B0%2C+%E4%B8%8D%E4%BB%A3%E8%A1%A8%E6%95%B0%E5%AD%A6%E4%B8%8A%E7%9A%84%E8%B4%9F%E6%97%A0%E7%A9%B7%29%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Bdouble%7D%5C+%5C+E%3D0%5C%5C+%26E%3D%2B0%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Blong+long+unsigned+int%7D%5C+%5C+F%3D18446744073709551615%5C%5C+%26F%2B1%3D0%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Blong+long+unsigned+int%7D%5C+%5C+F%3D1%5Ctext%7BULL%7D%5C%5C+%26F%3C%3C63%3DF%5Ctimes2%5E%7B63%7D%3D9223372036854775808%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Blong+long+unsigned+int%7D%5C+%5C+F%3D1%5Ctext%7BULL%7D%5C%5C+%26F%3C%3C64%3DF%5Ctimes2%5E%7B64%7D%3D1%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Blong+long+unsigned+int%7D%5C+%5C+F%3D1%5Ctext%7BULL%7D%5C%5C+%26F%3C%3C65%3DF%5Ctimes2%5E%7B65%7D%3D2%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Blong+long+unsigned+int%7D%5C+%5C+F%3D1%5Ctext%7BULL%7D%5C%5C+%26F%3C%3C1048575%3DF%5Ctimes2%5E%7B1048575%7D%3D9223372036854775808%5C%5C%5C%5C+%26%5Ctext%7Bint%7D%5C+%5C+G%3D123456789%5C%5C+%26%5Ctext%7Bint%7D%5C+%5C+H%3D123456789%5C%5C+%26GH%3D%28123456789%29%5E2%3D-1757895751%5C%5C%5C%5C+%5Cend%7Balign%7D" alt="\begin{align} &\text{int}\ \ A=2147483647\\ &A+1=-2147483648\\\\ &\text{unsigned}\ \ B=4294967295\\ &B+1=0\\\\ &\text{double}\ \ C=2^{1023}\times(2-2^{52})\\ &C+2^{-\infty}=+\infty\\ &(-\infty 表示一个绝对值超级大的负数, 不代表数学上的负无穷)\\\\ &\text{double}\ \ D=2^{-1022}\\ &D-2^{-\infty}=+0\\ &(-\infty 表示一个绝对值超级大的负数, 不代表数学上的负无穷)\\\\ &\text{double}\ \ E=0\\ &E=+0\\\\ &\text{long long unsigned int}\ \ F=18446744073709551615\\ &F+1=0\\\\ &\text{long long unsigned int}\ \ F=1\text{ULL}\\ &F<<63=F\times2^{63}=9223372036854775808\\\\ &\text{long long unsigned int}\ \ F=1\text{ULL}\\ &F<<64=F\times2^{64}=1\\\\ &\text{long long unsigned int}\ \ F=1\text{ULL}\\ &F<<65=F\times2^{65}=2\\\\ &\text{long long unsigned int}\ \ F=1\text{ULL}\\ &F<

Pandora Eartha：【数据结构】链表的算法和代码实现(C语言)Pandora Eartha：C语言计算100亿质数表

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#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <stdbool.h>

#define pi 3.1415926535

double sinTaylor(double x){
    bool negative=false;
    if(x<0){
        negative=true;
        x=-x;
    }
    if(x>2*pi){
        int adjust=x/pi/2;
        x=x-adjust*2*pi;
    }
    if(x>pi){
        x=2*pi-x;
        negative=!negative;
    }
    if(x>pi/2){
        x=pi-x;
    }
    int sign=1;
    unsigned n=0;
    double sum=0;
    double term=x;
    while(fabs(term)>=1e-6){
        sum+=sign*term;
        n++;
        sign=-sign;
        term=term*x*x/(2*n+1)/(2*n);
    }
    if(negative){
        sum=-sum;
    }
    return sum;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    double x=-50000;
    printf("%lf\n",sinTaylor(x));
}