事实上我们所知道的食草动物，几乎没有一种是单纯的素食主义者。

路透社曾报道过印度的一头牛，在一个月之内吃掉了 48 只小鸡。

鹿会吃掉受伤后无法飞走的小鸟，还被人拍到食用野兔的尸体。

家兔吃肉对养过兔子的人来说并不新鲜。加拿大的白靴兔也被发现吃鸟，甚至其他兔子和猞猁的尸体。松鼠也会吃肉，不管是死掉的老鼠、还是一只鸟，它们都不介意。

河马一夜能吃掉 40 公斤草，但是偶尔也会吃黑斑羚、幼年非洲象，甚至同类的尸体。现在它们已经被食草动物除名，成了杂食动物。大象会利用自己灵活鼻子捞鱼吃。

长颈鹿爱好捕食者吃剩的骨头。这种现象还有个专有名词，叫做嗜骨癖（osteophagia）。

草食性哺乳动物吃肉并非特殊个案。在摄像机的帮助下，从圈养到野生，从热带草原到北极圈，到处都能发现这种现象。

一种解释认为，食草动物吃肉就和吃土、吃毛一样，是一种异食癖。在缺乏蛋白质或某些矿物质，或者有寄生虫时，它们就会以吃肉代替吃植物。

不过，许多在人工喂养下，没有明显疾病的食草动物也会对肉表现出兴趣。这说明食草动物吃肉不见得是病理性的行为。

首先，食草动物也能消化动物蛋白和脂肪。对于它们而言，动物是比植物更高效的营养成来源，不但能量密度更高，而且脊椎动物并不能直接利用植被中的纤维素和木质素等，需要靠肠道菌群才能分解消化。

所以，牛羊和猪的饲料中经常添加 5%以下的“动物性饲料”，比如牛奶、肉粉、肉骨粉、鱼粉。曾经流行一时的疯牛病，就是牛饲料中的肉骨粉导致的。

给你的宠物兔喂排骨同样是不明智的。它们代谢动物脂肪的能力不强，长此以往会导致肥胖等问题。

其次，所谓的“吃肉”“吃素”主要是为了分类方便，它们的分类界限并没有那么明显，绝对的肉食动物和植食性动物都是极少数。

比如盛产草食性哺乳动物的偶蹄目（鲸偶蹄目），也包括各种杂食和肉食动物。

早已灭绝的偶蹄目动物蒙古安氏兽（Andrewsarchus mongoliensis），根据骨骼推测也是一种食肉或食腐动物。

鹿的祖先古鼷鹿（Dorcatherium）和一些现代鼷鹿也被认为是杂食动物。它们吃昆虫、水生动物和腐肉。

回到食草动物为什么要吃肉的问题上，其实正确的问题应该是：为什么它们要吃草？

在一个陆生生态系统中，能量沿着食物链流动：首先，植物通过光合作用，固定太阳提供的光能。其次，食草动物通过吃植物，获取自己所需的能量。最后，食肉动物又从食草动物的肉中获取能量。

考虑到食物链每级的能量转化效率不超过 10%，一个生态系统能承担的食肉动物的数目非常有限。而供养一群肉食者，就需要相当庞大的能量消耗。

以人类为例，世界上约有 70 亿人，同时养着 650 亿只鸡、8 亿头猪、10 亿头牛、20 亿头羊。它们生产的肉、蛋、奶依然不够所有人食用。

这决定了肉食性的动物只能是少数，大多数动物必须以素食为生。

然而，这并不能阻止广大食草动物们对偶尔开荤的向往。

食草动物才不是吃素的 https://www.zhihu.com/video/1116367988017696768

第一反应是：恙虫病（一种急性传染病）

对于恙虫病患者，如果没有早期诊断并及时应用有效的抗生素进行治疗，预后比较差，特别是老年人、孕妇和有并发症者，部分病情严重者可因多器官功能衰竭、肺或消化道大出血而死亡（病死率各地报道不一，未用抗生素病死率 9％-60％）。

不过，恙虫病一旦早期确诊，及时进行病原治疗，绝大部分预后良好。

病原治疗主要是应用氯霉素、四环素（儿童慎用）或者红霉素，效果都很好，一般用药 3 天内体温可恢复正常，另外，多西环素、罗红霉素、阿奇霉素或诺氟沙星等抗生素对恙虫病也有疗效。我在呼吸科轮转时，带教老师碰到恙虫病患者，一般用多西环素，效果也是杠杠的！

（注意：青霉素类、头孢菌素类和氨基糖苷类抗生素对恙虫病没有治疗作用）

重点来了↓↓↓

如何早期发现可疑恙虫病：

如果突然出现发热，1~2 天内体温迅速升至 39~41℃，伴有头痛、疲乏等症状，首先肯定要及时到正规医院就诊。如果发病前 3 周内有接触丛林、草地等，应注意寻找身上有无焦痂或溃疡（尤其是腋窝、外生殖器、腹股沟、会阴、肛周、腰背等处），有的话请务必主动告诉医生，因为这是诊断恙虫病的一条重要线索。（当然，医生通过了解病史和详细查体后并不难确诊，不过早点确诊总是有利无弊的）

以下详细展开（便于理解上面那段话）：

• 恙虫病的流行病学特征：

1）主要传染源：鼠类。

2）传播途径：恙螨为其传播媒介，通过恙螨幼虫叮咬传播给人。

3）人群易感性：人对本病普遍易感（不分男女老幼），不过从事野外劳动、较多接触丛林杂草的青壮年发病率较高。（恙虫病患者在发病前 3 周内一般有户外工作、露天野营或在林地草丛上坐、卧等。）

4）流行特征：我国南方多发于夏秋季，见于 5~11 月，6~8 月为高峰；北方省份多发于秋冬季，以 9~12 月为多，高峰出现在 10 月。本病多分布于热带及亚热带的河溪两岸，且多见于灌木、杂草丛生的平坦地带，以海岛、沿海地区较多见，山区较少。

• 恙虫病的临床表现：

起病急，体温迅速上升，1~2 天内达 39℃~41℃，持续 1~3 周，伴有寒战、剧烈头痛、全身酸痛、疲乏、嗜睡、食欲下降、恶心呕吐等，体征可有眼结膜充血、颜面及颈胸部潮红，皮肤出现焦痂或溃疡、皮疹，另外可有肝淋巴结肿大、脾肿大等。病程进入第 2 周后，病情常加重，出现各种并发症，可表现为心慌、咳嗽、气促、胸痛、神情淡漠、烦躁，甚至抽搐或昏迷，少数患者会出现鼻出血、胃肠道出血等^[1]。

上述临床表现中，有一个最具有特征性的体征：焦痂和溃疡（可见于 70％~100％的患者）。

恙螨幼虫叮咬人体后，局部出现丘疹，继成水疱，随后结成黑色痂皮，形成焦痂，焦痂呈圆形或椭圆形，直径 2~15mm，多为 4~10mm，边缘突起，周围有红晕，若无继发感染，则不痛不痒，也无渗液。痂皮脱落后变成溃疡，基底部为淡红色肉芽创面。焦痂可见于体表任何部位，但由于恙螨幼虫喜好叮咬人体湿润、气味较浓以及被压迫的部位，故焦痂多见于腋窝、外生殖器、腹股沟、会阴、肛周和腰背等处^[1]。

之前在呼吸科还遇到过一例出现在腹部的焦痂，如下图所示：

最后提一下恙虫病的预防：

由于目前尚无针对恙虫病有效的疫苗，因此，预防的关键在于灭鼠、灭恙螨和做好个体防护措施。其中，个体防护措施包括：

流行季节在野外施工、生产、行军、野营、训练时，应扎紧袖口、裤管口，把衬衣扎入裤腰内;不要在草地坐卧;避免在草丛、树枝上晾晒衣服和被褥。在流行较重地区，有条件时可使用药物预防。身体外露部分，如手、颈、耳后以及小腿等处可涂擦避蚊油(邻苯二甲酸二甲酯，dimethyl phthalate )，有 2h 的防护作用，或避蚊胺(deet )，有 4h 的防护作用，但涉水后均失效，而以邻苯二甲酸二甲酯 70%与邻苯二甲酸二丁酯( dibutyl phthalate ) 30%合剂涂擦，可延长防护作用至 8h，经过 3~4 次涉水，仍有一定的效力。衣服可用邻苯二甲酸二丁酯乳剂(以 0. 5 %肥皂水作乳化剂)浸泡衣服(包括袜子)，每套约 670ml，浸泡的衣服水洗 5 次后仍有一定的防护作用。据报道，恙瞒在人体皮肤上爬行 20 一 30 min 以至 1h，多尚未叮咬。因此，野外作业后，及时换衣、洗澡或擦澡，重点擦洗腋窝、腰部、会阴等皮肤柔软部位，可减少被恙满叮咬的机会^[2]。

从法律角度讲一个吧。算不上逆天，只是觉得应该有。

云梦睡虎地秦简。

上过中国法制史的同学，肯定学到过关于它的介绍。

1975 年 12 月出土于中国湖北省云梦县城关睡虎地。墓穴里是一个秦朝名叫“喜”的基层官吏，喜有多热爱自己的工作呢？陪伴他下葬的不是常见的青铜器、金器、玉器，而是他工作时的秦简。可以见下图的样子。

见多了墓穴里的金银玉器，但从来没见过有人会把自己工作的竹简放进去。尽管位卑言轻，但他一定非常自豪满足于自己的工作。尽管这一生没有什么轰轰烈烈的成就，但无愧于自己的工作，无愧于这些竹简。对这位基层工作人员肃然起敬。

云梦秦简的珍贵之处有很多，这里仅仅列举几个和法律有关的。

1、世界上最早的法医记录

云梦睡虎地秦墓竹简上记载了缢死、流产、外伤检验等且还规定了检验缢死者的方法。这是世界上迄今发现最早的法医记录。

给后世的《洗冤集录》算是开了一个好头吧。

2、世界上最早的刑事侦查书籍

云梦睡虎地秦墓竹简《封诊式》是世界上最早的刑事侦查书籍。《封诊式》是关于查封与勘验程序式的一部书籍，共 25 节，3000 余字，书中大部分内容均以案例为主，以文书格式出现，具体有审讯、犯人、抓捕、自首、惩办、勘验等方面内容。

从这个角度来看，《封诊式》还颇有点英美法系判例法的味道。一课一例，有利于理解吸收。

3、世界上最早环保法

《田律》是迄今世界上最早的保护环境法律条文。《田律》以法律的形式规定保护环境的条款，规定：早春二月，不许到山林中砍伐树木；不到夏季七月，不许烧草以及采摘刚发芽的植物；不许捕捉幼鸟幼兽，不能毒杀水生动物，也不能用陷阱或网捕捉野生动物及鸟类。

用国家宝藏的一句话总结下：

守护国宝，守护律法初心。

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感谢大家的点赞和评论~ 评论区发现许多超赞的回复，摘录部分如下：

@风雪夜归：我觉得自豪的是 2000 年了我们还能看懂它

@围城牛牛：1975 年，在湖北省云梦湖发现了秦朝时期的陵墓，出土了一些珍贵的竹简。这是一个重要的文物。其上面详述了秦朝法律文件，它共有 1,155 个竹简，近 4 万字。而这部秦简也详细记录了但是关于军队方面的惩处规则。其中有一段话是这么说的：朝廷征兵，如果没有什么特殊情况而延误行程的罚二副铠甲，晚到 3-5 天的应受斥责，晚到 6-10 天罚一个盾牌，超过 10 天者罚一副铠甲。但是若是下雨、大雪等自然原因的是不受到惩罚。也就是说陈胜吴广那种情况 ，不一定要同伴们一起受刑或者受死，起义的原因有可能是陈吴两人编的一个借口 。

@圞麟：所以，那些说考古是盗墓的能闭嘴了嘛？要是盗墓，这些无价的竹简能剩下吗

@方如：想象了一下，等我寿终正寝的时候，骨灰盒旁堆满了卷宗复印件……[调皮]

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既然说到了秦简，那就再介绍一件文物，里耶秦简。

里耶秦简出土于湖南省湘西土家族苗族自治州龙山县里耶镇里耶古城 1 号井，共 37000 多枚，年代为秦王政二十五年(公元前 222 年)至秦二世元年(公元前 209 年)。

和云梦秦简不同，里耶秦简没有系统的法律条文，更多的是一个县城的档案记载。但是这份记载却相当地详实，像一部秦朝郡县生活的百科全书，写满了当时的各个方面，涵盖了秦朝职官设置、签署公文、人口管理、经济管理、司法管理、物资管理、官吏考核、监督问责、公文收发与传递等等。

另外，里耶秦简里还有迄今为止发现的最早、最完整的乘法口诀表实物“九九乘法表”，也就是说两千多年前，九九乘法表已经得到广泛应用了。

但是，要知道里耶位于湘西山地，即使是现在去里耶，交通也并不发达，在秦朝更是一个楚国旧地的南荒深山小县，而秦朝居然有如此严密完整的行政制度和方案，不愧是法家的奉行者。

“里耶秦简，用近 20 万个字，为我们描绘了 37000 多个从前。这如同复活了秦朝的一个细胞。继而复活了一个时代的生命气息。那时的小吏与平民，仍存于尺牍，可以阅读，可以理解，可以想象，可以在尺牍之间看到那些被秦时明月闪耀过的生命与时光。​​​”该段摘自《如果国宝会说话》的解说词。

因为姚雨平北伐，八千广东子弟过长江，把偏师打成了主力，整得清廷、清军、袁世凯、北洋军都懵逼了，连清廷死忠张勋都被揍得“赞同共和”......后世蒋介石、李济深、毛泽东、朱德、叶挺、林彪均以取名“第四军”为荣，源头就在姚雨平的北伐第四军。

姚雨平，毕业于广州黄埔陆军学堂，与黄兴、赵声一道策划了广州黄花岗起义，黄花岗起义时，黄兴、胡毅生、陈炯明、姚雨平四路进攻广州要地，但是因为偶然因素，黄兴已经失败了，姚雨平的队伍才拿到枪，不得已潜逃南洋。

辛亥革命时，姚雨平协助胡汉民力促广东光复，使广东成为辛亥革命中唯一一个完全由革命派控制军政大权的省份。其他各省份都或多或少的被立宪派、旧官僚渗透、控制，革命意志并不强烈，多倾向与清廷、袁世凯媾和，特别是“武昌首义”的湖北、第二起义的湖南，两省已然被立宪派、旧官僚操控，甚至策划遥尊袁世凯为大总统，加之汉口汉阳失陷，在革命阵营中，广东派上升、两湖帮下降。

而在当时的同盟会是由三大派组成的：

广东派，带头大哥孙中山，小弟胡汉民、许崇智、廖仲恺、朱执信

两湖派，大佬黄兴、宋教仁、谭人凤、孙武、陈其美（浙江人）

浙江派，大佬章炳麟、蔡元培、陶成章、朱瑞、李燮和（湖南人）

这三派互相争执，总的来说，由于黄兴既是两湖派带头大哥，又是孙中山的盟友，两湖派与广东派虽然时常发生矛盾，但不至于彻底撕破脸皮，而章炳麟、陶成章的光复会（浙江派）则同时和两湖派、广东派激烈冲突、已经彻底翻脸了。

这是一个大背景，为什么章炳麟多次“推举”黄兴、取代孙中山？为什么章炳麟在南京临时政府成立前“拥立”宋教仁当大总统？有些人非常单纯，以为章炳麟是真心的。。。章炳麟四处挑拨离间，结果就是他的手下陶成章死于非命。孙中山为什么在武昌起义爆发后迟迟不回国？原因也很简单，首义的湖北、湖南等地并不是他的地盘、也没有他的人马，他在等一个合适的时机。黄兴蹭蹭赶回去是必然的，因为两湖就是他地盘，所以轻而易举取得两湖军政大权，共进会文学社只得让位，黄兴在两湖革命党内地位过于崇高。

在武昌起义后，革命阵营中谁做大总统？宋教仁、黄兴都有可能，但是随着立宪派、旧官僚排挤革命党、掌握了两湖，他俩已经出局了，而孙中山的嫡系胡汉民掌握了广东全省军政大权，三次“倒孙”中备受打击的孙中山一下子走出了阴影。

1911 年 10 月 10 日，武昌起义

11 月 9 日，广东光复，孙中山嫡系人马胡汉民朱执信等控制广东一切军政，积极支援两湖、江浙革命，组织北伐军，胡汉民任命姚雨平为广东北伐军总司令，北伐军兵力 8000 人，年龄均在 30 岁以内，拥有炮兵营、机枪营，炮弹一万发，步枪子弹 300 万发，机枪子弹 50 万发，德制新式管退炮 18 尊。

12 月 2 日，广东北伐军先遣队参与江浙联军，南京光复。

12 月 19 日，广东北伐军主力到达上海

12 月 20 日，孙中山回国到广州，胡汉民、廖仲恺迎接

12 月 25 日，孙中山到上海，宋教仁、陈其美（被迫？）迎接欢迎，记者问孙中山：“你这次带多少钱来？”孙中山说：“予不名一钱也，所带回者革命之精神耳！”（你他娘还真幽默）

12 月 26 日，广东北伐军到达南京

1912 年 1 月 1 日，孙中山当选临时大总统

当时南北战局，以长江为划分来说，西线武昌“湖广总督”北洋段祺瑞与两湖革命军焦灼，中部安徽北洋倪嗣冲虎视眈眈，东部则是北洋悍将、“南洋大臣”兼署理“两江总督”的张勋威胁南京（此时张勋毫无疑问是北洋集团仅次于袁世凯的第二人，而他是忠心清廷的，其战斗力从后来二次革命“冯张争南京”来看，张勋军事能力要高于冯国璋）。

1912 年初，孙中山、黄兴发起六路伐清，姚雨平即为第四军总司令，林震为前敌总指挥，李济深、张文为参谋长，按最初计划，姚雨平北伐的目的只是捍卫南京、侧翼牵制倪嗣冲，结果创造了历史。

1912 年 1 月 18 日广东北伐军渡过长江，27 日，在固镇与张勋部队展开遭遇战，以死亡 40 人的代价、重创张勋部，俘虏一千人和缴获大量辎重弹药，占领固镇，同日得知此败报的段祺瑞等 46 名北洋将领通电要求清帝退位。29 日，张勋偷袭北伐军，被反杀，2 月 2 日双方再次激战，张勋溃退，2 月 4 日，双方在宿州展开决战，张勋部得北洋精锐第五镇 4000 人、山东 1000 清军、另有一营炮兵两营骑兵支援，与姚雨平激战 6 小时，张勋方面死伤一千人，被俘数百，再次败北，逃到徐州，不久发布声明“赞同共和”（说好的大清死忠辫子军张勋呢？），而后风闻姚雨平又至，惊慌失措，不久逃往山东济南，广东北伐军占领徐州，华北平原门户洞开。

2 月 12 日，清帝退位。（真鸡贼啊，趁着手里筹码没赔光就立即脱身了）

清帝退位后，姚雨平北伐军改名讨虏军，驻扎徐州、宿州一带，当此之时，袁世凯不愿南下就职大总统，指使属下在北京天津制造叛乱，谎称北方骚乱自己抽不开身，姚雨平通电北京称自己愿意率军进京平叛，袁世凯立即阻止，“此次之变，系少数游勇鼓动，叛者不过一标。。。勿劳大军北来”（姚雨平皮这一下很开心）

后来袁世凯当上大总统，对姚雨平进行拉拢，授予陆军中将加上将衔，姚雨平不为所动，不久姚雨平被削掉兵权，解散北伐军，二次革命失败后姚雨平继续追随孙中山。1922 年，孙中山遭陈炯明背叛、被困永丰舰，电报通传姚雨平，姚雨平从香港赶回来、随侍左右（后来蒋介石派系编写史书，整得好像孙中山只给蒋介石发电报求救、好像只有蒋介石到场护卫、好像蒋介石摆平陈炯明似的，事实上，孙中山被困永丰舰满世界发电报求救，姚雨平去的更早！也是在粤军中资历甚高的姚雨平帮忙摆平的）。

孙中山晚年联俄联共，许崇智等粤军不甚认可，姚雨平、张文等粤军元老表示支持，孙中山死后姚雨平心灰意冷、逐渐退出政坛，当然时不时也爱怼怼蒋介石，南昌起义后部队南下潮汕损失惨重，姚雨平“高抬贵手”放了起义军南下、后又率军舰欲接应起义部队。解放后，姚雨平从香港回到广州，曾为粤军参谋长的叶剑英亲自探望这个“粤军缔造者”、给予一闲差养老。文革时叶剑英力保，姚雨平并未受冲击，安然度过晚年。什么才是老革命啊！（战略后仰）

姚雨平北伐第四军——李济深国民革命军第四军（粤军）——毛泽东朱德工农红军第四军——叶挺项英新四军——林彪中国人民解放军第四野战军

国民大革命时，蒋在军队中排共，第一军中就把共产党都排挤了，而第四军，即粤军，粤系领袖是李济深，而他却是姚雨平一手提拔的，姚雨平资历太老了，李济深、张发奎都是小字辈，姚雨平却支持中共，所以粤军共产党多也就没啥奇怪了。南昌起义也主要是粤军中共产党搞得，后来朱毛井冈山会师，成立中国工农红军第四军，也是表明对原第四军的沿革。

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之前在“复数，通往真理的最短路径”中说过，复数域其实就是二维的数域，提供了更高维度的、更抽象的视角。本文来看看，我们是怎么从实数域扩展到复数域的。

大家可能觉得这个扩展并不复杂，也就是

、

两个任意实数，外加虚数

，把它们结合在一起，就完成了：

但数域的扩张从来没有这么简单，就好像夫妻生下小孩只是个开始，困难的是之后的抚养、教育：

复数域的扩张充满崎岖。正如欧拉的老师对他的赞扬：

我介绍数学分析的时候，它还是个孩子，而你正在将它带大成人。---- 约翰·伯努利

这句话虽然是说微积分（数学分析）的，但用在复数域上也不违和。欧拉的欧拉公式正是“复数域”的成人礼：

1 数域扩张的历史

来看看之前的数域是怎么扩张的吧。每次想到数域的扩张，我都有种大爆炸的画面感，宇宙从一个奇点爆炸中产生：

1.1 自然数到整数

数学刚开始也是一片空白：

0 的出现就是数学的奇点：

根据皮亚诺定理（可以参考为什么 1+1=2？）“爆炸”出了自然数域（可以参考自然数是否包含 0？）：

很显然上面的图像是不对称的，哪怕出于美学考虑，人们都有冲动把左边补齐，增加负数，这样就得到了整数域：

添加负数之后，有一个问题就出现了：

我们知道

是对

的缩写，并且容易推出如下计算规则：

我们添加负数之后，希望这个规则依然适用，即：

更一般的有：

并且还惊喜地发掘出负数次方的意义，如果说正数次方是对乘法的缩写，那么负数次方（正数的相反数）是对除法（乘法的逆运算）的缩写：

1.2 整数到实数

很显然整数之间还有很多空隙，我们可以用有理数（rational number，翻译为“可比数”更合理）：

来填满这些空隙（示意图）：

还有空隙，最终用无理数（irrational number，“不可比数”）来填满这些缝隙，得到实数轴：

自然会有这么一个问题：

是无理数，上面这个问题需要用极限来回答，这里不再赘述，只是可以看出实数域的扩张也是很艰难的。

2 复数基础

往下面讲之前，稍微复习下复数的一些基础知识。如果比较了解复数的运算法则了，可以跳到第三节去阅读。

2.1 复数的运算规则

复数的运算规则并非凭空捏造的。开头提到的文章“复数，通往真理的最短路径”说过，形如：

的三次方程，卡尔丹诺在《大术》这本书中给出了通解：

如果

、

，可以得到方程：

从图像上看，

与

有三个交点的：

套用通解会得到：

这里就出现复数了。拉斐尔·邦贝利（1526－1572），文艺复兴时期欧洲著名的工程师，给出了一个思维飞跃，指出如果复数遵循如下的计算规则：

那么就可以根据之前的通解得到三个实数解。

2.2 复数加法、减法的几何意义

为了之后的讲解，先引入几个符号，对于一般的向量

有：

复数的几何表示和二维向量有点类似，只是横坐标是实轴（

），纵坐标是虚轴（

），下图还把刚才的符号给标了出来：

加法的几何意义和向量也一样：

但向量没有乘法（点积、叉积和实数乘法不一样），这就是复数和向量的区别。复数是对实数的扩展，所以要尽量兼容实数，必须要有加减乘除、乘方开方、对数等运算。

根据刚才的乘法规则，计算可得：

画出来发现，两者是正交的：

还可以从另外一个角度来理解这一点，

在复平面上是这样的：

那么，

乘以虚数

，就是：

对于一般的向量

，也符合这个规律：

好了，知道这些差不多了，开始正题。

3 复数域的扩张

好了，轮到复数域了，复数定义为：

那么，来回答数域扩张都会问到的问题吧：

这个问题可以用欧拉公式：

来回答，取

，可得：

画出来就是复平面上模长为 1，幅角也为 1 的点：

更一般的，欧拉公式说明，

是单位圆上幅角为

的点：

但是，欧拉公式

长这个样子！

3.1

的定义

欧拉公式肯定不是凭空捏造的，先来看看实数域中有什么可以帮助我们的。

实数域中的

函数，起码有三种定义方式：

• 极限的方式：

• 泰勒公式的方式：

• 导数的方式：

从这三种定义出发都可以得到欧拉公式。

3.1.1 极限的方式

因为：

我们可以大胆地令

：

那么之前的

就等于：

我们来看看这个式子在几何上有什么意义。因为

对应的是单位圆上幅角为

的点，所以先给个参照物，虚线是单位圆，实线对应的幅角为

：

然后取

，可以得到：

根据复数的乘法规则，可以看出：

取

：

取

，已经很接近单位圆上幅角为 1 的点了：

对于更一般的

也是同样的：

当

时，就很接近单位圆上幅角为

的点了：

可以证明当

时，

为单位圆上幅角为

的点，也就是得到了欧拉公式：

可能你还会问，直接替换

为

，合理吗：

这里是理解欧拉公式的

，我们要意识到一点，欧拉公式是一种人为的选择，完全可以不这么去定义

。但是，做了别的选择，会面临一个问题：会不会在现有的庞大复杂的数学体系中产生矛盾？

打个比方吧，在实数中“除以

”是不合理的，假如你想让它变得合理，那么分分钟会导出矛盾：

欧拉公式并不会引发冲突，并且随着学习的深入，你会发现数学家已经证明了它是一种足够好的选择，这里就不赘述了。

3.1.2 泰勒公式的方式

实数域下，有这些泰勒公式：

也是直接替换

，令

有：

这也有漂亮的几何意义，看看

的前三项：

这是三个复数相加，加出来就是：

再增加第四项

：

随着

，仿佛一个螺旋不断地接近单位圆上幅角为

的点。对于更一般的

也是类似的螺旋：

3.1.3 导数的方式

实数域有；

直接套用：

假设

是时间，那么

是运动在复平面上的点的位移函数，

时位置为

：

的运动速度，也就是导数

。这个速度很显然是一个向量，有方向，也有速度。它的方向垂直于

（根据乘法规则，乘以

表示旋转

）：

并且不论

等于多少，运动方向都垂直于位移，所以只能在单位圆上运动（圆的切线始终垂直于半径）：

而速度的大小就是速度的模长

。之前说了，对于两个复数

，它们的模长为

，那么：

肯定等于 1 了，

在单位圆上运动，所以模长也为 1，所以速度的大小为：

速度大小为 1 意味着

时刻走了

长度的路程。而

在单位圆上运动，那么

时刻运动了

弧长，因为是单位圆，所以对应的幅角为

：

4 总结

有了欧拉公式之后，任何复数都可以表示为：

其中：

个人觉得

只是复数的初始形态，而

才是复数的完成形态，因为它更具有启发性。比如计算乘法的时候：

那么有：

几何意义更加明显。并且扩展了乘方和对数运算：

到此为止，基本上所有的初等运算都全了。更多高等的运算比如三角函数、积分、导数，也需要借助欧拉公式在复数上进行推广。

欧拉公式中，如果取

，就得到了欧拉恒等式：

这个公式也被誉为了上帝公式，包含了数学中最基本的

、

、

、

、

，仿佛一句诗，道尽了数学的美好。

最新版本（可能有后继更新）：欧拉公式，复数域的成人礼

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事实上，周天子是建立了军队的，而且不止一支，而是两支军队，这两支军队一度非常强大。

在西周的大部分时间里，周天子都掌握着两支可能是当时的天下最强悍的部队，西六师和殷八师。这两只部队的兴衰和西周的国运休戚相关。

其中，西六师的驻地在周的发祥地——关中平原，并很可能在伐纣之前已经完成了编制，成为武王伐纣的主要力量，在《逸周书·世俘》中有：

“太公望命御方来，丁卯至，告以馘俘……吕他命伐越、戏、方，壬申荒新至，告以馘俘。。侯来命伐，靡集于陈。辛巳，至，告以馘俘。甲申，百唶以虎贲誓命伐卫，告以亳俘。……庚子，陈本命，伐磨百韦，命伐宣方、新荒，命伐蜀。……百谓至，告以禽宣方，禽御三十两，告以馘俘百韦，命伐厉，告以馘俘。……”

在本段中，在武王成功攻克沫（朝歌）之后，又命令太公望、、吕他、侯来、百唶、陈本、百谓六人各率军攻击殷的方国，这六人可能就率领了一师，合计六师。

而在武王殁后，成王即位，周公旦摄政，平定三监之乱，又东征奄、嬴等殷商与国。可能正是这次国家危机让周公旦及周天子对感受到了在广大的关东国土建立军事力量的急迫性。至少在康王世，一支新的军队建立起来，这支军队由 8 个师组成，称八师，由于驻地在东土，所以可成为“东八师”，或者根据其主要的军事驻地——殷商故土而成为“殷八师”。

在康王时代，殷八师已经开始活跃：

【虘又】東夷大反。白懋父以殷八师征東夷。唯十又一月。遣自 X 师征东夷。伐海眉。于厥復歸才牧师。白懋父承王令。易师率征自五颙貝。小臣逨蔑历。众易貝。用乍寶尊彝。——小臣逨簋

在小臣逨簋中提到，某年十一月，东夷反叛，伯懋父率领殷八师征伐东夷，兵锋直指海边（鲁北），胜利回师之后驻军牧师，赏赐功臣。

在本器中已经明确提到东征主力位殷八师。而战斗的指挥者伯懋父就是大名鼎鼎的卫康伯王孙牟。另外，此器中提到的牧师，正是牧野，也就是武王克商之战的主战场，看来在殷八师建立之后，位于今天河南淇县和浚县的牧野依然是重要的军事据点。

按照目前所知的金文铭文，西六师和殷八师应该是拥有土地和血缘结构，平时务农，在天子征召时挂甲上阵类似“军屯”的组织单位。过去常常有人怀疑这一点，认为这两支军队并非兵农结合的组织结构，针对这一点我们可以举出这样一件青铜器：

唯八月初吉。王各于周廟。穆公又盠立于中廷。北鄉。王册令尹。易盠赤巿。幽亢。攸勒。曰。用司六师。王行參有师。司土。司馬。司工。王令盠曰。赞司六师众八师艺术。盠拜稽首。敢對揚王休。用乍朕文且益公寶尊彝。盠曰。天子不叚不其。萬年保我萬邦。盠敢拜稽首曰。剌朕身。更朕先寶事。——盠方彝

在这则断为共王世的青铜器铭文中，我们可以看到，周天子命令盠管理六师和王行（天子私有军队）的三有司，也就是司工、司马、司土，一般认为，司工管理工程，司马管理军队，司土管理土地和人口，由此可知，六师、王行应该都是有其耕地的兵屯部队。

在西六师、殷八师的强大威力之下，天子不仅可以威慑周边戎狄，同样也可以震慑诸侯，让他们不敢造次。

在成康之际，周的扩张政策和分封制度让这个新生的国家不断兼并周边戎狄的土地，并促进了商人和周人的合作。

而到了昭王时期，一次失败的南征让天子的军队损失惨重：

周昭王十九年，天大曀，雉兔皆震，丧六师于汉。——竹书纪年

在这次军事行动返途中，浮桥垮塌，周昭王溺死，西六师受到巨大打击。这次军事失败让西周进入中期，其扩张速度明显减慢，开始从一个军事帝国向官僚制帝国转变，西周中期密集出现的册命金文正反映此时的政治面貌。

而西六师在上面盠方彝的例子中，应该也得到了重建。

值得注意的是，在西周中期，重要的军事行动主要中，已经出现了诸侯的军队辅助天子军队征伐的情况，在穆王世：

隹八月初吉。才宗周。甲戌。王令毛白更虢城公服。屏王立。乍四方亟。秉緐。蜀。巢。令易鈴勒。咸。王令毛公以邦冢君。土馭。【呈戈】人伐東国㾓戎。咸。王令吳白曰。以乃师左比毛父。王令呂白曰。以乃师右比毛父遣令曰厶乃族從父征。诞衛父身。——班簋

在班簋中，对东部方国的军事行动由毛公指挥，吴伯、吕伯协助，同时还有另一件青铜器可能说明这场战斗也有王师的参与：

众子鼓莓鑄旅簋。隹巢來迮。王令東宫。追以六师之年。

这件器铭中表明，对巢的军事行动是在太子（东宫）指挥下的六师完成的。

还有另一件青铜器说明在对东夷的战斗中，天子和地方诸侯的军队合作：

隹（唯）十又一月，王令（命）師俗、史密曰：“東征。”敆南尸（夷）膚虎會杞尸（夷）、舟尸（夷）雚不折，廣伐東或（國）齊（師）、族土、述（遂）人，乃執啚（鄙）寡亞。師俗（率）齊（師）、述（遂）人左，□伐長必，史密右，（率）族人、釐白（萊伯）、僰，周伐長必，隻（獲）百人，（敢揚）天子休，用乍（作朕）文考乙白（伯尊簋），子子孫孫（其）永寶——史密簋

在史密簋的铭文中，我们不难发现，在东征长必的军事行动中，由师俗和史密作为中央派出的军事长官，率领齐国、莱国等诸侯的军队进行征伐。

而到了西周晚期，由于多方面的原因，殷八师和西六师的战斗力大幅下降，变得软弱不堪：

呜呼哀哉！用天降大丧于下国，亦唯鄂侯驭方，率南淮夷、东夷广伐南国、东国，至于历内。王廼命西六、殷八，曰：“扑伐噩鄂侯驭方，勿遗寿幼。”肆师弥匌怵会恇，弗克伐鄂。肆武公廼遣禹率公戎车百乘、厮驭二百、徒千，曰：“于匡朕肃慕，唯西六、殷八伐噩鄂侯驭方，勿遗寿幼。”雩禹以武公徒驭至于鄂，敦伐鄂，休，获厥君驭方。肆禹有成。敢对扬武公不显耿光。用作大宝鼎。禹其万年子子孙宝用。——禹鼎

在厉王世对鄂侯驭方的灭国之战中，周天子押上西六师和殷八师全部力量，要消灭反叛的鄂国，却“弗克”，最终不得不依赖执政卿士武公的私人军队达成战略目的。

也就是在厉王世，高压专利的厉王被国人暴动赶出国家，参与暴动的大概也有王师的长官和军人，这个在我这篇回答中可以参考：周厉王时期国人暴动，周厉王为什么不调动军队镇压？

而到了宣王时，王师的战斗力有所恢复：

赫赫明明。王命卿士，南仲大祖，大师皇父。整我六师，以脩我戎。既敬既戒，惠此南国。
王谓尹氏，命程伯休父，左右陈行。戒我师旅，率彼淮浦，省此徐土。不留不处，三事就绪。
赫赫业业，有严天子。王舒保作，匪绍匪游。徐方绎骚，震惊徐方。如雷如霆，徐方震惊。
王奋厥武，如震如怒。进厥虎臣，阚如虓虎。铺敦淮濆，仍执丑虏。截彼淮浦，王师之所。
王旅啴啴，如飞如翰。如江如汉，如山之苞。如川之流，绵绵翼翼。不测不克，濯征徐国。
王犹允塞，徐方既来。徐方既同，天子之功。四方既平，徐方来庭。徐方不回，王曰还归。——诗经·常武

在大师皇父的指挥下，六师攻伐徐方（我祖宗，哼！），让徐方（我祖宗）臣服来宾。

可能在宣王世，由于对殷八师、西六师的掌控度下降，所以宣王又在宾服的南国建立了新的王师，但是这种尝试却未获成功，甚至成为了宣王中兴结束的诱因：

三十九年，战于千亩，王师败绩于姜氏之戎。宣王既亡南国之师，乃料民于太原。仲山甫谏曰：“民不可料也。”宣王不听，卒料民。——史记·周本纪

而在幽王末年的动乱中，西六师和殷八师并未见于史料，可能在这次战争中被消灭，或者不在天子的掌控范围之内了。

周幽王取妻于西申，生平王，王或（又）取褒人之女，是褒姒，生伯盤。褒姒嬖于王，王與伯盤逐平王，平王走西申。幽王起師，回（圍）平王于西申，申人弗畀。曾（繒）人乃降西戎，以攻幽王，幽王及伯盤乃滅，周乃亡。——清华简·系年（一）

所以显然，周天子的威严很大程度上来自于强大的西六师和殷八师，在这两支军队在战争中遭到损失或是天子对军队的掌控力下降之后，天子就无法再对诸侯建立起强大的控制。在西周末年，王师的衰落预示着西周秩序的崩溃。而在这之后的春秋时代里，某些显赫一时的诸侯也将会因为丧失对军队的掌控而消失在历史的尘埃之中。

重庆突下暴雨，大家都挤在一把大伞下面躲雨。男女老少脸上都带着温暖的笑容，一把伞，感觉像是撑起了城市夜色里的小温馨！

关羽与荆州的结局不会有啥变化。

唯二有变化的是：

1.《三国志》中不会有魏延的传记，也很难有他的名字。

2.有个幸运儿代替历史中的魏延担任了汉中太守。

看魏延的履历：

魏延字文长，义阳人也。以部曲随先主入蜀，数有战功，迁牙门将军。先主为汉中王，迁治成都，当得重将以镇汉川，众论以为必在张飞，飞亦以心自许。先主乃拔延为督汉中镇远将军，领汉中太守，一军尽惊。

按时间线划分：

建安十六年——魏延以部曲随刘备入蜀。
（八年战功）
建安二十四年——超拔汉中太守，代替张飞。

魏延通过益州之战，汉中之战积累功勋，八年时间，才有被刘备提拔为汉中太守的资格。

若是跟关羽呢？

建安十六年——魏延以部曲留荆州，统属关羽。
（八年空白）
建安二十四年——荆州毁败，关羽被害。

在关羽北伐时期，魏延由于缺少战争的磨砺与功勋的积累，他大概率地位依旧不高，不过是军中将校的一员，史书留名都很难做到的。要知道，即便是关平，也是因为和关羽一起被俘被杀，才留了个名字而已。

魏延替代张飞担任汉中太守，固然有刘备集团国门也就两处（汉中、南郡）的缘故；固然有汉中军团守要独挡一方，攻要随刘备北伐的特殊性；固然有汉中太守有边疆大吏的发展前景在——但一军尽惊仍旧体现了魏延的名望不够，连担任太守的资格都欠奉的因素。

从这个角度说，你让魏延代替糜芳啥的更是想多了，魏延八年战功都没爬到太守的阶梯，是刘备超拔才上位——他留在荆州的话，八年来默默无闻，刘备和关羽有任何理由用魏延代替糜芳做南郡太守么？而关羽是董督荆州事，然后让关羽的儿子关平领南郡太守，这个操作也不现实。

要知道，糜芳在刘备集团中，基本是没人能代替的存在。糜家与刘备有过姻亲；糜家财力人力大量支持刘备；糜竺、糜芳兄弟抛弃了太守、国相的官位以及家业追随刘备；糜竺不爱理事，不要权力——这么多层 Buff 叠下来，糜芳这个南郡太守谁能替代？

诸葛亮、庞统、法正、关羽、张飞这五个人把糜芳换下来是没问题的。而按资历，亲贵算的话，赵云、简雍、孙乾、刘琰、刘封这些人都压不了糜芳的好吧，关平和少了八年战功的魏延就更不可能了。

魏延能替张飞，是因为刘备想把张飞放在阆中，压根就没打算让张飞顶在汉中。一是因为张飞有司隶校尉的角色，不适合在边疆；二是因为阆中便于支援汉中、江陵，是益州、荆州战场的第一预备队，属于重要的战略支点，用起来更得心应手。若是张飞仍在汉中，你去荆州难道还把汉中的守军调走么？

荆州毁败这件事，基本上是无解，因为糜芳的地位其实很高，而且非常可靠，是你去找刘备打糜芳小报告，刘备都会相信糜芳的程度——想走正当程序调走糜芳没有任何可能。

米切尔·费根鲍姆（图片来源：Flickr）

 

40 多年前的洛斯阿拉莫斯国家实验室，一位助手对一类数列的研究引起了轰动，因为它涉及了大自然的核心的秘密：从这个数列中，可以发现大自然中一个基本的无量纲常数——4.6692……。这个常数像圆周率一样，充满了神秘的未知，也引领着科学的发展。

 

撰文 | 张华

 

国家实验室的“小助手”

 

米切尔·费根鲍姆（Mitchell J. Feigenbaum）1944 年出生在美国费城。第二次世界大战结束后，费根鲍姆一家迁回纽约布鲁克林居住。他的父亲在纽约港务局工作，母亲在公立学校教书。

在少年时代，费根鲍姆对电气工程师产生了朦胧的兴趣，因为他了解到电气工程师可以研究收音机，而且收入很高。因此，高中时的他选择了纽约市立大学的电气工程专业。不过，他上了大学才明白，自己渴望了解的收音机知识“只不过是物理学的一小部分”。

所以，1964 年从纽约市立大学毕业后，费根鲍姆进入麻省理工学院攻读粒子物理学的博士学位。1970 年，费根鲍姆获得物理学的博士学位，但这时，费根鲍姆对物理学的兴趣也有所转移，他开始喜欢上了数学——严格来说，他希望用当时还比较罕见的计算机来算一些数字。在他之前，已经有一位叫洛伦兹的物理学家利用计算机做天气预报，计算机编程也开始成为科学研究的手段。洛伦兹首次在微分方程组中发现了“混沌现象”的代表——蝴蝶效应。

博士毕业后，费根鲍姆进入了康奈尔大学，但因为他很少发表论文，看起来物理研究做得很一般。1972 年，费根鲍姆来到弗吉尼亚理工学院，一边教书一边思考自己感兴趣的数学问题。这时的他有点“非主流”——当时粒子物理学家的“主流”工作是，面对加速器对撞机不断生成的粒子数据，研究标准模型、解释强相互作用与弱相互作用的本质。1974 年，他跳槽到洛斯阿拉莫斯国家实验室理论部给一个教授做助手。

费根鲍姆只在洛斯阿拉莫斯实验室谋到一个助手的职位。虽然地位不高、工资也不高，但费根鲍姆可以用那里的计算机做科学计算。对他来说，这已经足够了。

利用计算机，他发现了数学物理中的一个很深邃的常数，相当于“发现了一个新的圆周率”，这一举奠定了自己在数学物理界的宗师地位。有人甚至预测，他可能因为这一贡献而获得诺贝尔奖。

 

抛物线映射

 

为了理解费根鲍姆的发现，我们需要从数列的周期说起。

最简单的周期性数列可以很任意，比如以下数列：

1，2，1，2，1，2 ……

当然，还有一些数列的周期性则要复杂的多，也要有趣得多。

 

比如费根鲍姆研究的数列：

也可以表现出周期性，而且随着参数 b 的不断增加，它表现出来的周期性会不断增加，会从二周期变成四周期，然后变成八周期……

这个数列在数学或者物理学上被叫做“逻辑斯蒂映射”或者“抛物线映射”。

为了方便理解，我们假设这个数列的第一项是一个比 1 小的正数。前面已经说到，这个映射其实可以看成是一个抛物线映射，因为后一项与前一项的关系满足抛物线的方程。

所以，这里的关键问题是，常数 b 等于多少——b 的数值是任意的，但做数值计算时，必须首先设定这个参数。

费根鲍姆固定了不同的参数 b，利用计算机算这个数列的后续项。很容易看出，当常数 b 选择到一些特定的数字时，经过多次迭代，整个数列最后会收敛到一个“不动点”。即当 n 较大时，数列中的后续项变成了：

这相当于，这个不动点是抛物线方程的一个根。不动点其实就是“周期 1”（周期为 1）。

随后，费根鲍姆继续调整参数 b。

他发现，当 b 增大到 3 的时候，系统的不动点就消失了，而是出现了周期 2 分叉，最后稳定下来的情况是 xn 在两个值之间跳来跳去。

随后，费根鲍姆继续调整参数 b，让 b 继续增大。当 b 增加到了一定程度，周期会从 2 变成 4。继续增加 b，周期又会相继变为 8 与 16……这个现象叫做倍周期分叉。

 

费根鲍姆常数

 

如果只发现了这些现象，是无法构成一篇完美、具有历史价值的论文的。但是，费根鲍姆的伟大之处在于，他开始考虑当参数 b 满足什么条件时，会出现倍周期的分叉、这些分叉点的参数 b 又有什么特点。

终于，在 1978 年的《统计物理学》期刊上，费根鲍姆发表了他的重要发现。

 

在费根鲍姆的文章中，他用希腊字母δ来标记这个常数

在费根鲍姆的发现中，出现倍周期分叉的相邻参数 b 之间可以定义出一个差值（相当于距离）。比如 b1 就是开始出现 2 周期分叉时的参数值；b2 是开始出现 4 周期分叉时的参数值；而 b3 是开始出现 8 周期分叉时的参数值。

费根鲍姆的重要发现如下：出现倍周期分叉的 b 的那些数值，距离之比接近一个常数，这个常数大概等于 4.6692……。

 

费根鲍姆同时还研究了别的映射，比如三角函数相关的映射，也得到了同样的常数。于是，他强调，这个数是“普适的”（universal）。也就是说，这个数不但对抛物线映射成立，而且对其他很多类似的映射也成立。

这意味着，这个常数背后有一个巨大的秘密。后来有人用量子统计与量子场论中的重整化群对这个常数进行了研究，取得了更多的进展。这个常数看起来比圆周率更深邃，但它的几何意义到底是什么，一直没有人能说清楚。甚至连这个常数到底是不是一个无理数，至今也还没有答案。

但我们确定的是，费根鲍姆常数与混沌理论有着密切的联系。费根鲍姆常数在抛物线映射中发现的倍周期分叉，其实是另一种“混沌”的前奏（数列是一种离散动力系统，离散动力系统中也存在混沌）。

由于费根鲍姆的常数大于 1，也就是说倍周期分叉的“距离”之比是一个等比数列，而这个等比数列虽然有无限多项，但总和是有限的。在参数 b 小于 3.57 时，这种以 2 为周期开始的倍周期分叉已经结束了。而当参数 b 大于 3.57 时，开始出现周期 3 开始的倍周期分叉——而根据李天岩与约克的定理：“周期 3 的出现预示着混沌的出现”，这意味着在抛物线映射中，也是可以出现混沌的。

无论是洛伦兹发现的微分方程（连续动力系统）中的混沌，还是费根鲍姆发现的数列中的混沌，都标志着一项新的物理学革命。混沌现象都是用计算机意外发现的，这也是电脑帮助人们做科学研究的典范。

 

Checkmate 象棋里面的“将军”，看起来像是两个英语词，其实是波斯语 shah mat （大王没救了）

【说明】：本回答中涉及的专业术语较多，限于篇幅不能全部给出注释，但多数未注释的生僻专业术语已经添加注释页面的链接（部分页面需要借助特殊工具才能看到）。

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太阳系经历了怎样的演化历史？今天的太阳系为什么是“这样”，而不是“那样”？这类问题要较真的话都是非常复杂的，几乎每一个细分领域都是可以产生大量论文的课题。因此本回答不会尝试把问题分析透彻，而只能囫囵吞枣地从不同层面将这个问题可能涉及的原理做一个粗略的介绍。

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这个问题，需要从四个层次去理解：

1、基于天体力学基本原理的分析；

2、考虑行星形成的基本理论；

3、结合天体力学与行星形成理论的进一步讨论；

4、更深入地，考虑太阳系行星系统演化的动态历史。

这四点中，前三点得到的结论是一般性的、普适的，对于其它行星系统也适用，而第四点则反映了太阳系的特殊性。

一、基于天体力学基本原理的分析

这个原理其实很简单，概括起来就是：

离中心恒星越远的地方，恒星引力的影响越小，行星的势力范围越大。

换句话说就是，远离恒星的行星，有能力清空轨道附近更大范围内的物质。

我们先来考察一下“希尔球”的概念。

希尔球，又称洛希球，粗略来说，是环绕在天体（像是行星）周围的空间区域，那里被它吸引的天体（像是卫星）受到它的控制，而不是被它绕行的较大天体（像是恒星）所控制。因此，行星若要能保留住卫星，则卫星的轨道必须在行星的希尔球内。同样的，月球也会有它的希尔球，任何位于月球的希尔球内的天体将会成为月球的卫星，而不是地球的卫星。

（资料来源：维基百科）

设 a 为行星轨道半长径，e 为行星轨道偏心率，m 为行星质量，M 为恒星质量，则行星的希尔球半径

为：

可见，行星的希尔球半径与行星离恒星的距离成正比。

虽然题主的这个问题与希尔球的问题并不完全等同，但二者显然是有联系的——它们遵循同样的力学规则，在不考虑质量差异的情况下，我们可以推断每个行星的势力范围也与其离恒星的距离成正比。

（1），在行星的希尔球范围之内，显然不可能再有另外的行星——如果那里确实有一个天体，它将是环绕行星运行的卫星。

（2），即使在行星的希尔球之外，只要离行星的距离仍然比较近，这些地方的小天体将会受到行星引力的强烈摄动，因此它们不会有稳定的轨道，只要时间足够长，它们要么被行星俘获，要么遭遇引力弹射而离开这个区域。最终结果就是，行星清空了这个区域。

（3），在被行星清空区域的外围，虽然可以允许一些小天体存在，但仍存在一个相当大的范围，无法形成另外的行星。这是因为：a、受行星引力摄动，这些区域物质密度较低，难以聚集足够的质量形成行星；b、在行星影响下，这些区域的轨道稳定性相当脆弱，新行星吸积过程中频繁的碰撞极易打破脆弱的平衡，其结果就是这个环带内任何质量聚集的区域将遭遇更强的清除力度，最终使得整个环带密度趋于大体均匀。

上述第三点的情形，在太阳系中存在典型的例证：小行星带的物质因为受到木星引力的摄动，无法吸积为行星。

关于第三点的（b），可能有些读者觉得比较费解：既然在行星希尔球以外的某些区域，受行星引力摄动都可能导致物质无法聚集为星球，那么在离行星非常近的希尔球内，那些由岩屑盘聚集而来的卫星是怎么形成的呢？

回答这个问题并不困难：在非常靠近行星的地方，行星引力占绝对主导地位，在这里的物体受力简单，它们的运行轨道基本上仅由行星引力决定，因此卫星的运行只是个简单而稳定的二体问题；而在希尔球之外的区域，物体的运行轨道是由恒星引力主导的，任何一个靠近它的行星将成为不能忽视的第三物体，从而引发复杂而不稳定的三体问题。

事实上，基于同样的原理，在行星的希尔球之内，靠近希尔球边界的区域也是无法通过物质聚集的方式形成卫星的，如果那里有卫星，我们有理由相信它并不是在那里形成的——它很可能是被俘获的外来天体，或者在潮汐牵引作用下从内侧轨道迁移而来。

总之，在恒星引力与行星引力都不可忽略的区域，恒星、行星以及被引力影响的物体共同组成复杂而不稳定的三体，博弈的结果将导致这里物质稀少且难以聚集，从而无法形成大型天体。只有在其中一个力占绝对优势的区域，例如在离行星非常近的地方——远低于希尔球半径的高度，或者离行星非常远的地方——在这里行星的引力可以忽略不计，才有可能通过吸积方式形成新的星球，前者即行星的卫星，后者则将形成另一个行星。

在离恒星较远的地方，恒星引力较弱，天体受恒星的束缚更少，行星引力可以影响的范围更广，因此需要更加远离一颗行星，才有机会形成另一颗行星。

二、考虑行星形成的基本理论

这里要用到的也是一个非常简单的原理：

冻结线以外，容易形成更大的行星。

冻结线（英语：Frost line），又译为雪线（英语：Snow line）或冰线（英语：Ice line），在天文学或行星科学中，是指能让挥发物质（如水、氨和甲烷等物质）凝聚为固体冰粒的最小距离（由母恒星中心起算），这个名词是借用土壤学中冻线的概念。就太阳系而言，冻结线位于太阳星云中从原始太阳的中心向外起算的一个特定距离，此处的温度一般认为介于 140[1] 至 170 K[2] 之间。
由于采用的物理模型和计算方式对于计算冻结线距离有很大的影响，通常很难得出冻结线的确切距离。就太阳系而言，综观迄今所被提出过的所有理论值，太阳系的冻结线主要被认为落在 2.7[2] 至 5 AU[3] 之间，亦即火星与木星间的主小行星带。温度在冻结线之下的低温能让更多的固体颗粒吸积成为微行星，最终能成为行星。因此，冻结线将恒星系划分为拥有固态物体但挥发性物质稀少的类地行星区域，以及富含挥发性物质与冰冷物体的类木行星区域[4]。

（资料来源：维基百科）

我们先来了解一下行星形成的一般过程。

在行星形成的极早期，最初的核心是一些固态尘埃，例如石墨、硅酸盐、铁等通过碰撞，依靠电磁相互作用胶结在一起的。这个阶段因为质量非常小，无法通过引力作用约束和吸附任何物质，因此，这些凝结核无法吸积气体。

在冻结线以内，冰（在天文学上，冰一般指水、氨、甲烷等凝固点远低于金属、硅酸盐岩石，但又显著高于氢、氦等的一类物质）是以气态形式存在的，它们无法参与行星的早期形成过程。但冻结线之外，冰是固体，它们可以在很早的阶段就成为行星的组成成分。

在宇宙中，冰的质量比岩石或尘埃高出一个数量级以上，因此冻结线之内形成的行星凝结核，一开始就输在了起跑线上——没有冰的参与，仅靠固体物质补充，成长十分缓慢，等到它们终于大到可以靠引力吸积冰和气体的时候，冰和气体已经几乎被恒星风全部吹散了。

因此，在冻结线内形成的行星，基本上都是由岩石构成的侏儒；而冻结线外则形成了一批含有大量冰（天王星、海王星）甚至还吸积了更大量的氢氦气体（木星、土星）的巨无霸。

根据前面第一节的分析，质量大的行星，其影响的范围也更大，它需要的行星间距也更大。太阳系的 4 个巨行星，本身离太阳更远，势力范围本来就大，再加上质量巨大的因素，因此我们可以看到，在冻结线内与冻结线外，行星间距有一个巨大的跳变。

三、结合天体力学与行星形成模型的进一步讨论

前面两节的分析，基本上解决了“远离恒星的行星必须要有大的间距”的问题，同时也揭示了“离恒星较近的行星，可以有较小的间距”的原理。

然而，通过下面的分析，我们还可以了解到，事实上在岩屑盘物质足够丰富的前提下，离恒星较近的行星，不但可以，而且是必定有较小的间距。

本节所涉及的主要原理为：

在恒星引力势阱越深处（离恒星更近的地方），来自不同轨道的物体遭遇时的碰撞截面越小；即使相撞，撞击后的吸积概率也低。

想象一下，如果有两个轨道交叉的人造卫星在太空中相撞，它们会粘在一起还是碎片横飞？

显然是后者——因为引力太小，它们没有机会像地球吸积流星体一样，相互吸积成一个更大的物体。

那么问题来了：那些在行星形成早期的尘埃、岩石或星子（即微行星），是怎么通过碰撞胶结到一起的？它们为什么不会撞成碎片？答案其实很简单：它们是在低速碰撞下胶结的。

形状像雪人的小行星“天涯海角”、像小黄鸭的彗星 67P 就是这种低速碰撞下结合的典型例子。

低速碰撞要求两个物体碰撞前速度差比较小。在行星形成时期，岩屑盘内物质基本上是按照同一方向旋转，并且相同轨道高度的物体有大体相同的轨道速度。因此，我们有理由相信，最初微不足道的那些小凝结核，一定是一些基本在同一轨道附近的物体碰撞形成的。

当星子成长到直径 1km 以上时，就可以靠引力吸积一部分物质了。但这时候的星子仍是脆弱的，虽然它可以吸积一些与其轨道略有差异的物质，但如果轨道高度差太大，仍有可能将其撞碎。

图四是引力（左）及引力势能（右）与距离的关系。可以看出，在靠近恒星的的地方，引力势能的梯度是很陡的，与恒星距离的一点点差异就意味着巨大的势能差。

假定一颗星子 A 因为某种扰动，脱离了原来的近圆轨道开始下降并与更低轨道的另一个星子 B 相撞，那么 A 在下降过程中，势能降低所转换的动能必然导致其与 B 有较大的速度差。如果在离恒星比较近的地方，这种较大的速度差更有可能导致碰撞是毁灭性的（撞碎）而非建设性的（吸积）。高速碰撞并分散之后，较大的碎片仍是一个独立的星子。

前面讨论的是两个星子已经撞上的情形。事实上，在更多的时候，两个相对速度较高的天体根本就无法相撞。

当两个相对速度很低的物体靠得比较近时，两者之间的引力可以将其进一步拉近，最终导致相撞合并。在某个相对速度时，能够导致两个天体在引力作用下最终相撞的最大距离所构成的圆面，就是二者在该相对速度下的碰撞截面。

而当二者的相对速度较高时，虽然引力仍导致与低速时相同的加速度，但引力势能的释放会进一步加速物体，这很可能使得二者的速度都超过了对方的逃逸速度，最终结果就是双方擦肩而过。当二者相对速度本来就超过相互的逃逸速度时，碰撞截面将缩小为二者自身的几何尺寸。

因此，在离恒星较近的地方，两颗具有一定轨道高度差（与恒星的距离差）的星子比较难以通过合并来形成更大的星子。

上面这段话反过来看就是，在相同（以与恒星的距离衡量的）空间尺度内，离恒星较近的区域将会有更多的星子在不同的轨道高度上幸存下来并各自成长为原行星，最终进一步发展为行星。当然，需要再次强调的是，这一切的前提是在近恒星区域的岩屑盘有足够丰富的物质。

【一点题外话】

第一节和第三节所涉及的天体力学原理，其实也许可以唯象地推广到更多的领域。在几乎所有势能与距离成反比的系统中，都可以观察到类似的现象。

例如原子核外电子的 s 轨道。如图五

当然，这只是唯象的类推，事实上在原子系统中为何会这样，其细节与天体力学中必定是非常不同的，有兴趣的读者可以自行深入研究。

四、更深入地，考虑太阳系行星系统演化的动态历史

前三节的讨论是在把行星系统的演化视为静态、稳定的前提下得到的结论，然而实际的行星系统演化要比这复杂得多。

例如，行星轨道的迁移，就完全可能对规则造成破坏。理论模型和实际观测结果表明，年轻恒星旁的气体原行星盘寿命约数百万年。在气体消散之前，行星或原行星通常会转移角动量到周围气体，并且使行星逐渐向内侧螺旋移动。

目前在系外行星系统中发现的大量热木星，显然就是轨道迁移的结果——在离恒星如此近的地方，不可能形成巨大的类木行星，它们应该都是在外围形成后，经历轨道迁移才到达现在的位置的。

行星轨道迁移在行星系统演化中是普遍现象，太阳系也不例外。但这又是一个高度复杂的问题，目前对于太阳系行星迁移历史的研究，并没有得到一个清晰的、为学术界公认的演化路线图，因此要完整地从行星迁移的角度来分析题主的问题是非常困难的。

在这里，我只介绍一些相对比较主流的理论以及其中对行星轨道变迁的描述。

大迁徙假说是行星天文学的议题，认为木星在距离太阳 3.5天文单位之处形成以后，在其因捕获土星的轨道共振而发生轨道变化的逆转之前，曾经迁移到 1.5 天文单位。最终停止在 5.2 天文单位之处。木星迁徙的轨道逆转路径被比喻为帆船的改变航向（逆风行驶）[1]。

（资料来源：维基百科）

木星大迁徙假说又称木星大航海假说，它包含以下主要内容：

1、木星形成于太阳系冻结线外侧的 3.5 天文单位处。内太阳系的气体和冰被太阳风向外吹散后，在冻结线外侧重新凝结并在那里堆积，因而木星获得了额外丰富的物质来源，成长为太阳系最大的行星。

2、木星形成过程中及形成后，经历经典的Ⅱ型行星迁移（Ⅰ型和Ⅱ型行星迁移相关概念请看：行星迁移），逐渐向内，一度达到 1.5~2 天文单位处；同一时间内，土星也向内迁移，因为质量越小迁移越快，土星可能经历了失控的快速Ⅰ型行星迁移，迅速向木星靠近。

3、土星在 2:3 轨道共振位置被木星捕获，这导致两颗行星的清空区域重叠，土星清除了木星轨道外侧的气体和尘埃，从而逆转了导致木星向内迁徙的扭矩（木星内侧的气体仍然存在）；同时复杂的轨道共振（林达博共振）也提供向外迁徙的动力，两颗行星逐渐向外迁移，并最终到达现在位置。

4、木星向内迁移过程中对内太阳系造成巨大扰动。内太阳系原本可能有比现在更多的原行星，它们在被木星引力摄动后轨道混乱，相互碰撞。地球、金星等很可能就是从碰撞的碎片中产生的，那个导致月球形成的原行星“忒伊亚”，可能也是在这个时期与原始地球相撞的。更多的原行星和碎片可能坠入太阳或被弹射出太阳系。

内太阳系原本可以有更加密集的行星，在木星向内迁徙的时期，许多物质都失去了，这造成今天内太阳系的低质量。

5、由于木星一度到达火星轨道附近，清除了那里的大量物质，导致最后形成的火星质量不寻常的小。

6、木星两度经过小行星带，清除了那里的绝大部分物质，导致这个区域物质总量不足以形成行星。

7、木卫三、木卫四可能在木星迁徙方向逆转之前即已形成，木星进入内太阳系后，高温剥离了它们的大气层；而土卫六则很可能是在土星重新向外迁移后才形成的，它的大气层因此得以保留。

尼斯模型（英语：Nice model，(发音：/ˈniːs/neess）是一个太阳系动力演化理论。该理论以提出地，蔚蓝海岸天文台所在的法国城市尼斯命名[2][3]。该模型的提出是为了解释太阳系中的类木行星在原行星盘内气体消散很久之后从原本排列紧凑的位置迁移到今日位置的机制，这个模型和先前其他太阳系形成的模型并不相同。这个模型的太阳系动力学模拟是用来解释太阳系内许多事件，其中包含了内太阳系的后期重轰炸期、奥尔特云的形成、太阳系小天体的分布，例如柯伊伯带，木星与海王星的特洛伊天体，以及大量被海王星重力影响的共振海王星外天体。这个模型因为许多对太阳系天体观测的结果符合其预测而获得成功，并且是近年最被广泛接受的太阳系早期演化模型[3]；虽然它并没有被行星科学家普遍接受。

（资料来源：维基百科）

尼斯模型认为：

1、在太阳系的气体和尘埃消散之后，4 颗类木行星分布比现在更紧凑（位于 5.5~17 天文单位之间），在类木行星带之外直到 35 天文单位处，分布着一个总质量约为 35 倍地球质量、由岩石和冰块组成并充满星子的岩屑盘。

2、由于岩屑盘的内缘与类木行星带外侧紧邻，那么就常有岩屑盘内缘的星子受最外侧类木行星（不确定是天王星还是海王星，在尼斯模型中，天王星与海王星有 50%的概率曾经互换位置。）的摄动向内移动，同时与行星发生角动量交换，该行星则向外迁移。

3、被最外侧行星向内弹射的星子，在到达相对靠内的位置后，也有机会被更内侧的行星再次弹射，同时与行星交换角动量，导致内侧行星也相应地向外迁移。

这种轻度弹射的结果就是，土星、天王星和海王星都经历了向外迁移的过程，最终到达它们现在的位置。

4、当被外侧三个类木行星向内散射的星子进入木星巨大的引力势阱之后，将被极大地加速，遭到重度弹射。除了一部分星子被木星弹射进内太阳系以外，其余大部分星子进入长椭圆轨道，甚至被抛射出太阳系。相应地，木星因为向外弹射了更多的星子而失去角动量，轨道略向内迁移，到达约 5.2 天文单位的现位置。

这一切主要发生在太阳系形成约 6 亿年之后。

5、那些被弹射进入内太阳系的星子，直接导致了“后期重轰炸期”，给地球、月球以及其它内太阳系行星带来大量陨石撞击，同时也为地球带来了水，为生命的萌芽打下了基础。

6、那些被向外弹射的星子形成了奥尔特云，而岩屑盘的剩余物质及被轻度散射的星子则构成了柯伊伯带和离散盘。

总结

1、天体力学及行星形成模型的原理揭示，任何多行星的系统，都有内侧行星密集、外侧行星稀疏的倾向。

2、静态稳定的理论仍不足以充分解释太阳系内行星及外行星之间距离差异的巨大鸿沟，因此需要通过行星迁移的理论来补充说明。

这，就得从胚胎发育说起了......

但为防文长不看，还是简而言之：胎记（学名色素痣）是因为在胚胎发育阶段，一些本应该转化为黑色素细胞的前体细胞因为一些原因没有均匀分布在皮肤上，而是聚拢成团，所以形成了含有大量黑色素细胞的体表良性病变。

=====简略回答的分界线，下面是我的侃大山环节==========

我们的皮肤由浅至深分为三层：表皮层，真皮层和皮下组织。

其中，表皮层又可以细分为角质层，透明层，颗粒层，棘曾和基底层。在位置最深的基底层，除了不断分裂的角质形成细胞，就是黑乎乎的黑色素细胞（Melanocytes）了：

正常情况下，这些黑色素细胞平均分布于皮肤各处，其合成的黑色素不仅可以作为遮挡物避免紫外线对深层皮肤的伤害，同时还形成了不同人种的肤色。一项研究发现，不同肤色人种皮肤中的黑色素细胞数量基本一致，引起肤色深浅有别的，其实是黑色素细胞分泌黑色素的多少。

但在某些情况下这些本该均匀分布的黑色素细胞发生了聚集，就形成了我们肉眼可见的色素痣。色素痣可大可小，颜色可深可浅，可平坦可凸起，可谓是五花八门。但从成因上讲，都是黑色素细胞的异常聚集造成的。

黑色素细胞是怎么来的呢？

学过初中生物的朋友应该都知道胚层这个概念，生命从单细胞到多细胞，从单胚层到多胚层的演化过程中，多胚层生物因为更完善的身体结构，更灵敏的反应性和更强的适应能力而凸显出生存的优势。人类就是典型的三胚层生物，在胚胎发育过程中，三个胚层逐渐分化为不同的组织器官。

很神奇的是，藏于我们机体最深处的中枢神经系统和我们身体最表层的表皮层细胞都来自于外胚层。导致这一神奇过程的，是原肠胚形成之后外胚层细胞发生了一次意义重大的内卷：

以脊索为引导，神经板（蓝色）向内凹陷病逐渐形成管状的神经管，这根微小的管子会在未来发育成生物体复杂的中枢神经系统。而神经板外侧的神经褶（绿色）则在神经板卷起的过程中相遇、融合成神经嵴。而神经褶外周的其余外胚层细胞（灰色）则进一步愈合，把神经管和神经嵴埋进去。

从此，同为外胚层的细胞，有些内卷为神经管，进而发育成中枢神经系统（脑＋脊髓）

Ps,如果在神经管形成和发育的过程中缺乏叶酸，很容易出现多种神经管畸形

严仁英教授推动了我国孕妇补充叶酸上升为国家行为，大大降低了新生儿神经管发育畸形的发生概率。为我国优生优育工作做出了巨大贡献。2017 年以 104 岁高龄与世长辞。

菲利普医生：那位用叶酸拯救无数家庭的百岁老人走了

有些外胚层细胞融合为神经管上方的神经嵴，进而神经嵴细胞逐渐进入胚胎的全身各处，进而发育成多种看似毫无关联的细胞和组织——黑色素细胞、肾上腺髓质、神经元、施旺氏细胞、平滑肌细胞、成骨细胞、破骨细胞、脂肪细胞和软骨细胞......

那么黑色素痣又是怎么形成的呢？

一部分神经嵴细胞迁移到胚胎体表并分化为黑色素细胞，在此过程中如果出现了过度的聚集或者增殖，就会造成了局部黑色素的增多，形成肉眼可见的黑色区域。如果伴有结缔组织的增生，这些胎记还会出现增厚、凸起。形成五花八门的色素痣：

目前已经发现了几个和黑色素痣、黑色素瘤发生、发展高度相关的基因，例如 Sox10^[1]，BRAF^[2]，CDK4^[3]等，但这些基因通过什么方式，在哪一个阶段干扰了神经嵴细胞的迁移还是分化，尚没有非常确切的研究。所以目前来看，“为什么人要长胎记”这个问题的答案我们还只是知其然，却不甚知其所以然。

以上是从组织学和胚胎学的角度对色素痣发生的原因进行了科普。

2017 年我曾经从临床治疗的角度对色素痣进行过科普，如果感兴趣可以拓展阅读：

菲利普医生：有关黑痣的一些事

最后我想说的是，美有千万种。胎记确实会给颜值打折扣，但活出自我、活出自己不一样的美丽，生命一样可以精彩。就像她们一样：

1.当时金饼多采取滴铸工艺，即类似沈括《梦溪笔谈》中提到的“蹏金”：“蹄作圆饼，四边无模范迹，似于平物上滴成，如今干柿，土人谓之柿子金。”这种滴铸工艺的缺陷是容易产生中空，因为金的物理特性很软，一旦中空塌陷，就会凹下，并且产生这种裂纹。还有一种观点认为，这是为了方便携带而故意把金饼锤扁的。

2.金饼作为等价物的一种，其价值在于金的多少，外观是否精美则不重要；而青铜器作为礼器，精致程度则是价值的一部分。

3.汉代还有一些不计工本生产的掐丝贴花镶白玉面马蹄金和麟趾金，做工精美工艺细腻，恐非一般货币，可能具有礼制意义。

略长，慎入。

起源。唐朝的节度使始于唐睿宗时期的幽州节度使，最初设立目的是为了总督北方军事，抵挡突厥和契丹。而且当时唐朝实行府兵制，大规模征召兵员只有在战争时期才会发生，基本不存在将军专权的情况。

发展。到了唐玄宗时期，节度使变得举足轻重。

而节度使之所以在政治上崭露头角，是因为一项重要的改革——府兵制改募兵制。这项改革受到后人诸多否定，让我们看看真实情况。

中唐以来，唐帝国一直受到西方和北方的游牧民族入侵，“天可汗”的地位早已不复存在。

公元 695 年，吐蕃论钦陵入侵唐帝国，次年在吐谷浑罗素山击败了王孝杰娄师德率领的大军。

公元 696 年，契丹发生大规模叛乱，在硖石谷歼灭了唐帝国二十八员将领率领的军队。后因默掇可汗袭击后部继续南侵，河北震动。

同年，突厥入侵甘肃凉州，呼应吐蕃，吐蕃要求唐帝国从四镇撤军。

公元 697 年，突厥默掇可汗单方面停止谈判，并掠夺诸州，唐帝国举国震动。

面对日益紧张的边境形势，原先的府兵制已经不适用于新的战争环境。

为了应对外来入侵，睿宗、中宗、武后做了诸多努力，例如修缮隋长城，建立新的防御工事，部分地区采用募兵制，以及设立节度使。

改府兵为募兵，建立由国家供给的职业军队，代替原先闲时为农，战时为兵的府兵。（另外也因为土地兼并、腐败等因素，府兵制渐渐难以维系。）

最终，励精图治的唐玄宗决心在对外战争中树立唐帝国对外的权威。

这段时间内针对吐蕃、突厥、契丹、奚族设立九大蕃镇。九大蕃镇分别是：

平卢，驻营（首府）于营州，于 719 年设立，用于控制南满，防御契丹和奚族。

范阳，驻营于幽州，于 714 年设立，目的是防御契丹、奚和突厥对河北的入侵。

河东，驻营于太原，于 723 年设立，用于防御突厥、奚、契丹对河东入侵，控制定居的部分部落。

朔方，驻营于灵武，于 713 年设立，用于防御突厥入侵关中，控制鄂尔多斯定居的部落民族。

陇右，驻营于鄯州，设立于 714 年，防御吐蕃对关中入侵。

河西，驻营于凉州，设立于 711 年，防御吐蕃突厥对河西走廊入侵。

剑南，驻营成都，设立于 717 年，防御吐蕃入侵四川。

北庭，驻营庭州，设立于 727 年，控制中亚通道。

安西，驻营龟兹，设立于 718 年，控制塔里木绿洲。

为了有效使军队投入对外战争，唐帝国设立了节度使。

而所谓节度使，就是总理一方军务，率领招募的士兵对外作战的指挥官。节度使具有地方军事全权，军事行动无需中央授权，在应对机动力强的游牧部落时有以快制快之效。

募兵推行，节度使建立，效果立竿见影。尤其自八世纪中期到安史之乱前，唐帝国对吐蕃、契丹的战争取得了很大的成果。（例子太多例举两个）

728 年，在吐蕃境内占领多个主要要塞，729 年进入青海湖地区。737—740 年再次进入青海湖地区，最终占领安戎，取得决定性胜利。

753 年哥舒翰夺取黄河上游地区。

735、736 年，大败突骑施苏禄。

740、744 年，李适之、安禄山数次击败契丹、奚族叛乱。

但是，这段时间内节度使也渐渐成了帝国新的威胁。由于对边关的物资运输极其困难，八世纪二十年代，节度使被认可在所在地屯田，管理后勤，后来直接掌管了地区财政归属。而且部分节度使兼任了节度使以外的官职，比如朔方节度使兼任关内道采访使，有了一定驻营外人事任命权。并且中央宰相集团中多位宰相都是节度使出身，如牛仙客、李适之，这给了职业军人通往中央的途径。

除此之外，还有最为危险的政策：748 年，李林甫上疏，要求将边境将领置于外族节度使之下。其中主要的两个外族将领（两人是宿敌）就是安禄山（河东、范阳、平卢）和哥舒翰（陇右）（这一建议直接原因是皇甫惟明和王忠嗣事件，可以视为李林甫为控制边防将领而做的阴谋）

这一做法一是因为外族将领更加骁勇善战（如哥舒翰）另一方面是因为外族将领在朝中政治基础不足而必须依附李林甫，而且李林甫认为他们缺少政治野心。

放任节度使坐大的结果就是导致唐帝国由盛转衰的安史之乱。（当然还有不少其他原因，这里只考虑节度使的因素）

安史之乱最后以妥协的方式结束，这对节度使的直接影响，就是自治权更大（甚至拥有世袭权）、范围更广（遍布全国）、数量更多。节度使凭借军事实力，实现了对地方州县的实际控制，改组了唐帝国的地方行政结构。（由州—县改为蕃镇—州—县，主要是北方的几个节度使，黄巢叛乱后范围才扩大）

这时，唐帝国出现了全国军事化，军人大规模干预政治的形势，朝廷也基本只能默许节度使对地方官员的任命。

为了挽回局面，唐帝国的中央政府做了大量努力。

唐代宗尝试削减了蕃镇控制的州县，唐德宗将西北神策军纳入中央军，并且采取了两税法，扩大中央收入。而唐宪宗，实现了中央对蕃镇的重大胜利，元和削蕃。（期间存在波折，比如唐德宗削蕃心切反而酿成了河北诸镇之乱，直接导致了河北强蕃半独立且能自行人事任命）

关于元和削蕃，先要了解其针对的蕃镇。

分别是：幽州、成德、平卢、魏博、淮西（画重点，只有这几个蕃镇拥有相当的自治权和人事任命权）

关于元和削蕃，我在此不详述过程，只讲蕃镇。

蕃镇受到了沉重的打击，自治的蕃镇只剩下三个：幽州、成德、魏博

并且，唐帝国实现了在制度上对蕃镇进行管理。将蕃镇的收入限制在蕃镇驻营所在州，将原蕃镇所属州的岁入转交中央，并且提高了州的军事地位，使蕃镇不再对州具有军事上的控制。换言之，就是把镇—州—县改为了镇 / 州—县两级行政组织，有效强化了中央权威。

此时，蕃镇基本不再具备和中央抗衡的实力，而人事任命除了半自治蕃镇，基本收归中央。

但是，在这段中央地方斗法的时间中，唐帝国的经济基础已经出现了剧变。

安史之乱爆发后，全国大规模军事化，农业生产几乎停滞甚至倒退，通货紧缩严重。

随后唐德宗的两税法，即一年收两次税、鼓励地方向中央贡礼、盐铁官营，虽然给了中央收回权力的经费，但也加重了农民的负担。

此外，唐帝国中央政府对地方蕃镇的军事行动和对外防御（吐蕃、南诏）的巨额军费，维持复兴的帝国中央政府的经费（中央政府复兴的重要表现是牛李党争，期间出现了中央机构扩大化、人员复杂化、政治官僚化，通俗点讲就是中央有权威了，不一致关注地方问题，开始内斗了）都使农民承担了巨大的增税负担。

再加上宪宗后期、武宗、宣宗时期，牛李党政日益激烈化、地方化，唐帝国陷入了无休止的内耗之中，甚至于轻视了基层地方的巨大隐患。（当然也有一些措施缓解，比如武宗灭佛，收回土地，限制农民皈依，宣宗之治打击朋党、统一朝政，积极务农，核实户口）

最终，唐帝国被愈演愈烈的农民起义和戍军暴动彻底击溃。

这段时间的暴乱情况基本可以分为以下几段：

780—820 年，为了加强中央权威的行动不断增加农民负担。

820—860 年，地方骚乱和地方性匪盗增加。

860—875 年，地方戍军开始大规模叛乱（庞勋），并且出现农民广泛支持的起义（王仙芝）。

875—884 年，黄巢叛乱如火如荼，唐帝国基层组织秩序被彻底粉碎。

884—907 年，地方势力不断崛起，控制 / 建立地方政权，唐帝国寿终正寝。

其实这段时期历史已经不属于旧官僚节度使和中央皇帝，而属于农民起义军和地方军阀了。（划重点，宪宗之后僖宗之前，节度使的任命基本收回中央，除了三个保持半自治的蕃镇，其他蕃镇基本回到了玄宗时代早期的情况）

在此仅简单叙述一下唐帝国内叛乱（戍军暴动农民起义）情况。

裘甫，859—860 年起义，860 年被王式镇压，揭开大规模叛乱的序幕。

庞勋，868—869 年率军兵变，戍军兵变代表人，企图朝廷命其为武宁节度使，最后由唐帝国借助外国军队镇压。（此时职业军人暴乱一发不可收拾，跨区域、得到地方势力支持的暴乱愈演愈烈，之前多为领导阶层内部斗争）

王仙芝、黄巢起义，874—884 年，一般被视为压倒唐帝国的最后一根稻草，但实际上也有阶段之分，前期主要是盗匪集团对帝国进行劫掠，从北打到南，中期企图建立新王朝从南方北上，甚至占领了长安，但没有得到地方支持，彻底改变了唐帝国政治结构（地方纷纷拥兵自重，成为和中央抵抗的政治实体），最终被镇压也是地方势力和脆弱的唐帝国中央共同镇压。（这是唐帝国后期最重要的政治变化）

唐帝国最后的 20 年发生了决定性的变化，唐帝国中央在农民战争中被彻底击败，各地节度使或地方势力纷纷开始拥兵自重（打着防匪盗的名头，如高骈），形成了分布广泛的政治实体。

最终，外族入侵并且扶持的代理人，地方士族起义控制的地方政权，拥兵自重的朝廷命官，一起瓜分了唐帝国的遗产。（这些人在 907 年唐帝国被朱温彻底毁灭前大都称自己为节度使，但其实旧瓶装了新酒，蕃镇已经成为地方政治实体而非帝国的下属机构）

所以实际上综唐一朝，节度使从最开始帝国的军事将领，演变为北方群雄割据、南方赋税稳定，再经历了宪宗到懿宗时期的稳定收编，从体制上的管理时期，最终在唐末成为了新兴军阀、唐旧官僚以及地方豪强组成的复杂的地方政治实体。

以上就是唐代节度使大致的历史轨迹，基本是从中央地方关系的角度上叙述（前中期比较容易表述，后期一言难尽），如果想更深入了解可以阅读张国刚教授的《唐代蕃镇考察》，里面从蕃镇的种类（四种蕃镇）对蕃镇进行了描述，个人认为是另一种视角，建议读了本回答仍存疑惑的朋友阅读。

另外唐末历史较为复杂，中央不仅存在官僚党争，宦官夺权，还存在对地方管理的种种挑战。而地方经济基础的变化，地方政治机构的本土化，地方军人的大规模参与政治以及农民起义等等。。。如果加上唐帝国对外外交那就更加复杂。。。

总之总结一下提问的问题，唐代节度使能否对官僚进行任命需要分时期、分地点的叙述，不能一概而论。

（论点的史料会晚点补上，当然要我有空翻翻书）

可能很多人都想象不到，看上去简简单单的「光的折射」要用量子力学来解释。

折射是我们学习过的第一批光学现象，它看起来非常简单，光从一种介质射入另一种介质将会在界面处改变方向，折射率越大的介质，传播方向越靠近法线——我们还学习过一个定量计算的“斯涅尔定律” （Snell’s law），其中 n1 和 n2 是两种介质的折射率，θ1 和θ2 是入射光和折射光与法线的夹角。

如果你感兴趣，不妨计算一下，你会发现光只有走这条路径，从 A 到 B 的时间才最短——因此它符合一个更简单也更有意义的费马原理：在给定的两点之间有无穷多条路径，光只能沿着所需时间为驻点的路径传播。

所谓驻点，

1. 有可能是极小值——除了折射以外，平面镜上的反射也是这样：在所有可能的反射路径中，那条关于法线对称的路径最短。

2. 有可能是极大值，比如在球面镜内的反射：在所有可能的反射路径中，那条平分线通过球心的路径最长。

3. 还有可能是拐值，比如将平面镜和球面镜各取一半，从球面部分反射的路径都更短，从平面部分反射的路径都更长。

所以如果有一个奇形怪状的反射面，光就会根据具体情况，同时沿着几条驻点路径从 A 抵达 B。这看起来很容易理解，但稍一琢磨就会出现一个巨大的困惑：光又没有脑子，怎么能未卜先知，在出发之前就知道 B 点在哪，知道介质有多大的折射率，知道镜子是什么形状，作出这么复杂的“举动”？更何况光已经是宇宙中最快的，没有任何东西能给光源通风报信了。

对于这一现象，从不同的角度出发可以有不同的表述，下面介绍相当有趣的一种：光并不是只沿着驻点路径传播，而是同时沿着所有可能的路径传播，甚至包括了那些歪歪扭扭的曲线路径。但光会在这无穷多条可能的路径上自相干涉。

然而不同的位置上干涉的程度并不相同：在给定的两点之间，几乎所有的路径都因为相位差异而相互抵消了。

但是驻点能够成为驻点，就是因为不同路径的相位差异在这里最小，各路干涉不会完全抵消，而会留下完整的波动，所以对 B 点来说，就是光只能从驻点路径传过来。

打个比方，我们能够观察到的光的传播路径，是所有路径同时厮杀之后的结果，光最终以怎样的路径抵达终点，就取决于战场上有怎样的赢家。

这个理论不仅适用于光的传播路径，而且能够表述整个量子力学——它就是费曼提出的多重路径积分表述：量子的运动总是“未卜先知”地遵循某种特殊的路径，乃是因为这个路径是所有可能路径的累计结果，而不是有什么超距作用。

我们必须注意，这种表述虽然非常有效，但它与量子力学的所有表述一样，都不是现实本身，也不能区分哪个更正确，正如哥本哈根学派的那句名言：“先有自然才有人类，但是先有人类才有自然科学”——我们的一切知识都是关于现象的模型，而不是现象本身。

本回答所有截图和内容摘引自节目《光为什么这样传播？ | 混乱博物馆》

光为什么这样传播 | 混乱博物馆 https://www.zhihu.com/video/1124015527731011584

我在学校深入学习过这次事故。

因为如果不是缺乏理论知识的操作员作死骚操作的话，rmbk 的确不会爆。

而科学家没有从事过现实的工程设计，理论和实际也存在脱节。实验室理想化的堆型设计，变成真实世界巨大复杂的系统时，会出现很多想不到的坑。他们无法理解怎么会有骚操作让它爆。

hbo 切尔诺贝利第三集里有一幕，女科学家去和奄奄一息的操作员做调查，那位操作员说自己的职务是 senior engineer xxxx，然后女科学家问你几岁？25 岁。。。显然这个年纪是没经过什么正经科班学习的，更谈不上 senior 了。

而女科学家在实际反应堆的操作和特性上，可能也比不上这位年轻的 senior engineer。

脱节。

rbmk 石墨沸水反应堆是一种控制相对复杂的反应堆，体现在其正的空泡系数。在水沸腾产生空穴时，由于减速剂是固体石墨，中子减速和吸收的平衡不会反转，反而会因为水吸收中子的减少而增加反应率，形成正反馈，造成不稳定。这个效应在低功率低水位高水温和装料已旧时尤其强烈。但是一般来说这不会导致功率立即上升，因为需要数秒中子才会释放。控制一个正反馈系统对人类来说也不是难事。rbmk 反应堆是以自动化计算设备和控制棒自动控制功率的。而且在大大冗余的控制棒，和两套自动停机系统加持下，安全性也是有保障的。

但是存在漏洞，而切尔诺贝利事故正好是骚操作撞到漏洞上。

过程：

实验需要，要将反应堆功率从 3200mw 降到 700mw，但是由于实验开始时间延迟，操作班组降功率降的过快，一下到了 3mw。

功率下降过快导致了燃料中氙 135 的增加。氙 135 是中子毒药，会吸收中子减弱反应。因此为了提升功率到所需水平，操作班组依靠直觉违规拔出了过多的控制棒，实验中测试的水泵启动时，水流量增加，进一步吸收中子，于是进一步拔出控制棒。最后只保留了 6 根。

自动控制系统和主要的安全系统被关闭，反应堆手动控制。

拔出控制棒后，功率仅上升到 200mw。而 10%以下功率时，两套紧急停机系统均不工作，也不提供反应率数据。操作班组纯靠直觉盲操作。因为功率很低，他们觉得很稳。

然而此时反应堆的配置已经十分危险，控制棒过多拔出，如果此时是高功率，这就是爆炸的配置。现在功率是低的，一旦吸收中子的东西减少，功率变高，反应率会变高，然后功率更高，反应率更高～如此循环正反馈。而此时自动控制关闭，紧急停机关闭，甚至连反应率监视都没有。反应堆如同一堆火药上立了根燃烧的火柴，而操作的人是瞎的。

然后，随着实验结束，水泵水流降低，核心内气泡增多，反应率上升。而后操作班组按下了 AZ-5 紧急停堆键，控制棒插入（按计划实验后这个反应堆要停机维护，所以这应该是预定的结束实验的步骤，而不是发现反应率异常上升后的反应，因为当时没有反应率监测数据反馈给班组。但已无从证实）。由于设计问题，控制棒和石墨槽之间有冷却水的水膜，阻碍插入速度，控制棒插入缓慢，完全插入需要 18s。同时控制棒头部有一段石墨，被设计用来增强控制棒效力和平均核心中子流，但是在被过度拔出的情况下，再插入时，这段石墨排开了水，造成了吸收中子减少，增加了反应率。

（为何会设计一段石墨，参见我的另一个回答https://www.zhihu.com/question/326854016/answer/706995076）

最后爆了。

所有反应堆在投入商用的时候一定都是自认为绝对安全的，但实际上永远有你想不到的缺陷。而即便发现了隐患，由于经济政治体制原因，也不会对外泄露，而是寄希望于完善系统。而越复杂的系统，失效的场景也越多。

世界上所有核电站的融堆概率都是小数点后面很多位，代表平均一个反应堆要运行上千上万年才会出现一次融堆。这个融堆概率是无数人的计算成果，是宣传核电安全的核心论据。然而人类历史上已经有 3 次融堆事故了，彩票中了三次。

最后，操作班组对所操作的反应堆没有深入到细枝末节的了解，而科学家也不了解复杂的反应堆实际操作时有多少奇怪的场景，所以他们都不相信它会爆。

聊一些让人恐惧的系外行星

1 - 科洛 7b

直径：稍大于 1.5 个地球

公转周期：0.9 个地球日

暴虐极端的世界，两种地狱的归一

这颗行星的日出如图，它和其恒星的距离是地球和太阳距离的 1/60。也就是说，在其表面看到的“太阳”是地球上看到的太阳的近 2500 倍大。向阳面温度可达 2600 度，足以气化岩石。背阳面岩石蒸汽凝华后会降下“石雨”。理论模型预测该行星表面有岩浆组成的海洋。因为潮汐锁定，行星同一面永远面对恒星，另一侧温度则可以低至零下 230 度，可以说是冰与火的地狱。

2009 年该行星被发现时，人们认为它是第一颗被发现的类地系外行星。当然，我们现在将其划归为不可居住，并认为其有生命存在的几率接近于零。它之前可能是一颗地球大小 100 倍的气态巨行星，在逐渐靠近恒星的过程中，它表面的大气层逐渐被剥离，只剩下了岩石组成的内核。

2 - 格利泽 436b

直径：接近海王星

公转周期：2.6 地球日

人类所知行星中最特异的矛盾体

格利泽 436b 距离地球 30 光年，和其恒星距离只有 420 万公里（相较之下，水星距太阳 5800 万公里）。其表面温度为 440 度，远超水的沸点。但这颗行星妙就妙在它表面的水依然处于固体状态。换句话说，格利泽 436b 是一颗由燃烧之冰组成的行星。当然，这里的冰和地球上不同，处于一种叫做冰七的特殊状态，密度更高，结构更接近于晶体。科学家认为这种冰是由于行星内核巨大的引力生成的。

该行星的矛盾特质还不止如此。它表面有氢和氦组成的外层，因此理应含有大量的甲烷，但科学家探测发现其表面的甲烷含量是预测值的不到 7000 分之一。相反，格利泽 436b 上具有大量的一氧化碳，可能是行星高温内核释放出来的。

3 - 巨蟹座 55e

直径：大约地球的 2 倍

公转周期：0.7 个地球日

晨昏圈里什么怪事都有可能，但都比不上詹森

别名詹森的巨蟹座 55e 距离地球 40 光年，它最有名的特质莫过于其 1/3 的成分是钻石。它的大气大部分是碳元素，恒星和行星内核施加的高压将整个星体压缩成钻石。如果按现在的钻石市价计算该行星总价值为

美元。

和科洛 7b 类似，詹森因为潮汐锁定，一面永远朝着恒星，另一面处于永恒的黑暗中。它距离恒星过近，在其表面水无法保持液态，而是处于一种液气两态之间的超临界状态。人类不管是在 2200 度的向阳面还是黑暗的“晨昏圈”内都无法生存。此外，哈勃望远镜还发现该行星表面下正在逐渐释放出氰化氢，产生高热剧毒的流体。

4 - WASP-12b

直径：木星的 1.8 倍

公转周期：1.1 地球日

黑暗末日世界

WASP-12b 因为恒星的引力被拉长成极度罕见的形状。据估计这颗行星寿命只剩下 1 千万年，它正在被其母星逐渐瓦解，平均每年会丧失

吨的物质。

科学家在发现 WASP-12b 之前从没想过会找到这样漆黑的系外行星。这颗行星有一种独特的能力，会吸收，而不是反射照射在其上的光，吸收率高达 94%。科学家称其“像柏油那么黑”。

5 - TRAPPIST-1b

直径：和地球差不多

公转周期：1.5 地球日

六个血红的月亮之光

这个星系有七颗行星围绕着红色恒星公转。在 TRAPPIST-1b 的背阳面看上去天上有时会出现六个深红色的“月亮”。当然，这六个天体实际上是行星，其中有三个处于该星系的可居住区。TRAPPIST-1b 本身炙热（约 1200 度）。据估计，这七颗行星的总含水量是地球的 250 倍。该星系的行星可能有 5%是由水组成的，而地球的含水量只有 0.02%。至少有两颗行星表面有液态水，而 TRAPPIST-1b 表面的水应该处于蒸汽状态。

骑兵自然有骑兵的优势。

都不需要人数相等。只要对方不是坚守不动，两千人吊着足以。

正面战场上每种兵种都有巨大的优势方面。但骑兵在冷兵器层面的战术优势，几乎是独一份的。

优势的骑兵，可以主动选择战场，可以百里范围快速机动，可以扩大补给征收范围，可以压制对方侦查，可以临时快速集结等等。

历史上比如像狮心王这种应对骑兵强势围观，甚至可以保持机动的例子非常少。但归根结底，需要指挥官沉着应对，保持阵型稳固，需要士兵经验老到，不被震慑。

但如果是处于步兵结阵固守状态下，会是另一个剧本。

因为骑兵有天然的劣势。

第一，骑兵后勤压力太大。马匹的胃口太大，对草料需求大。不能长期滞留在一个区域。这个缺口是用豆子谷子补不了的。所以一般出现大规模步骑对峙，只要不能速胜，比如刘邦白登被匈奴强势围观，基本都以骑兵方主动撤退为主。

第二，骑兵的阵型密度低，或者压根儿没阵型。导致正面兵力投送密度有限。所以类似汉李陵这种五千被八万围观的。只要没有第一时间溃散，对面基本都打成了添油战术。

第三，骑兵的通过性很低，对战场要求非常高。比如，阿金库特的烂泥地坑蔫儿了法兰西之花。一般来说，类似泥地、滩涂、碎石滩、林地、山地、建筑群等等，几乎都是坑骑兵的一把好手。

第四，骑弓威力小，对装备好的部队威胁低。骑射之所以牛，主要在于零散的冷箭会迟滞步兵军阵，使兵员长期紧张疲劳。而且步兵军阵目标大，差不多概率射击就好。但如果指望射退对方，一不小心就成了八里桥第二。

第五，关系不太大的一方面。骑兵在战略机动中，速度其实低于步兵。在没有马蹄铁的年代，漫长的行军与复杂的地面，会使得马蹄损坏。而即使有了马蹄铁，近代普鲁士依然认为，每周行军，骑兵会掉队，步兵需要停留等待。因为在常见的哺乳类动物里，人的肌肉恢复与耐力，仅次于狗和狼，比马要好不少。

但要客观的说一句。步兵在被动防御时，由于直面进攻，压力都非常巨大。并不是说骑兵给步兵压力大。而是野战防御本身压力就大。

如果不是训练有素的部队，很容易被震慑，然后自行溃散。

所以在都是乌合之众时，骑兵几乎有压倒性优势。而随着双方训练度提升，优势会迅速弱小。

另外，客观来说，随着马种改良、马鞍马镫马蹄铁改良，骑兵的战术能力提升非常迅速。步兵不得不持续加强盔甲和武器。

使得在正面对峙中，步兵的体能消耗过于巨大。进而开始依赖车阵等野战工事。

另外步兵主动出击与埋伏骑兵的能力也显著下降。

比如凯撒打庞培，可以抽调第三排步兵埋伏对方骑兵。亚历山大东征，可以让轻步兵伴随骑兵前进，在骑兵转向后迟滞对方骑兵。

但等到法妖打板鸭，罗克鲁瓦，抽调步兵配合骑兵在林地埋伏对方骑兵，也会失败。

至于近代骑兵衰落，到不单纯是因为火枪火炮。

主要是战场规模越来越大，骑兵的战术机动作用在下降。同时一线兵力与火力密度太大，骑兵的攻击力显得不足。所以开始转入后方渗透打击。

张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具。同一个物理量可以由不同的向量 / 矩阵表示出来，这是由线性空间（通常是流形的切空间）的对称性决定的。

先发一个微信里看到的雷人数学题，这个其实对于理解张量分析很有帮助。

某同学为了证明钱缩水，做了一道题，把数学老师逼疯了！高级数学题：
求证：1 元=1 分
解：因为 1 元=100 分
=10 分×10 分
=1 角 ×1 角
=0.1 元×0.1 元
=0.01 元
=1 分
证明完毕。
数学老师哭了！
因为，毫无破绽。
稀里糊涂地钱就没了… 正如现在的社会！

其实破绽很明显——100 分并不是 10 分 *10 分，100 分是 10 分 *10，而 10 分 * 10 分是 100 分^2, 所以最后应该得到 0.01 元^2, 而 1 元^2 = 10000 分^2，所以 0.01 元^2 就是 100 分^2。（如果觉得元和分这些单位有点抽象的话，不妨把元和分换成米和厘米，用长度和面积来理解一下，我们显然不会说 1 米 = 100 厘米 = 100 平方厘米，前者是长度，后者是面积，根本不是一回事）

这里的核心问题是，100 分^2 和 100 分根本不是一个线性空间里的量，不能简单等同起来，要等同起来，必须选定一个同构。说具体点就是，如果

是一分钱生成的自由

- 模，也就是说，

是 “金额的实数轴”，这是一个

上的一维线性空间。则 100 分^2 所在的空间是

，

和

都是一维线性空间，所以可以选取一个同构把 1 分映到 1 分^2. 但是这个映射并不把 1 元映到 1 元^2, 而是把 1 元映到 0.01 元^2, (1 元 = 100 分

100 分^2 = 0.01 元^2) 所以反过来的时候，0.01 元^2 自然对应回了 1 元…… 所以并没有矛盾。

现在来解释开头那句话（张量就是物理量，与张量相关的数学是对高维 (维数 ≥ 2) 的物理量进行 “量纲分析” 的一种工具）。

1. 什么是数? 什么是量?

这是两千五六百年前希腊先贤讨论的问题之一（好像是 Miletus 的泰勒斯，欢迎指正）。最笨的解答是：量是有单位的，数没有。这个解答其实很有道理。1, 2, 3, 3.14, π, 这样的叫 “数”，5 米，五块钱，500 厘米，这样的叫量。数字上 5 ≠ 500, 但是 5 米和 500 厘米对应的物理量是一样的，这个物理量，就是 “空间中的某一段距离”，这个距离，即使对完全不理解人类语言的生物，也是实实在在的。而无量纲的数字，通常是一个物理量的比值，比如五公里里面的 5，是五公里对应的长度和公里这个单位长度的比值。

2. 如何描述速度这个物理量?

说 “速度” 是一个物理量，应该没人会反对。两个小学生，没有卷尺和秒表，也可以通过赛跑来比较自己的速度。观看赛马比赛的时候，不同马匹在同一时刻有不同的速度，这很容易察觉。但是日常生活中，通常速度被用一个数字表示，比如 72 km/h, 或者 20m/s. 熟悉这两个单位的人应该能看出，72 km/h 和 20m/s 是同一个物理量，他也可以用 72000m/h, 或者 65.6168 ft/s (英尺 / 秒)。如何不依赖于上面这些单位的选取，来描述 “速度” 这个概念呢？

有人可能会说，这个简单，距离这个概念，是个物理量，时间这个概念，也是个物理量，要抛开单位谈速度（也就是给出速度的一个内蕴的定义），只需要把它定义成距离的变化量 Δs 和时间差 Δt 的比值，在 Δt → 0 的时候的极限。也就是说，如大家熟悉的，

. 对这个公式，也许你会说，不就是求导么。新的问题来了，没有选取单位，

都不是一个 “函数”（换句话说，

并不把数值映射到数值，只是把物理量映射到物理量），如何 “求导” 呢。只好用一个格调稍微高点的说法，

是时间轴到空间轴的一个映射，这里时间轴和空间轴都是两个一维流形，未选取任何坐标系。而

其实是

的切空间到

的切空间的一个线性变换。一维线性空间之间的线性变换，只要选定了 “单位”，就可以用一个数字来表示，所以大家一般不这么说。但是，明确了速度这个物理量，其实是一个一维空间之间的线性变换这一点，其实对理解它的数值表示，很有帮助。比如 72 km/h 这个量，他的数值表示是 72. 如果把时间的单位换成 s (秒) —— 在时间轴的切空间上换了个坐标系 —— 而新旧坐标系之间的关系是，1h = 3600s，则新的数值表示，变成了 72/3600 = 0.02. 新的数值 0.02 表示同一个物理量，只不过单位是 km/s 而已。类似地，空间轴如果换个坐标系，比如把千米变成米，也会得到一个新的数值来表示同一个物理量，数值是 20，实际上是 20 m/s.

上述内容在一维的情形怎么说都像是抽象的废话。但是核心在于不同的数值可以表示同一个物理量。高维的情形就没那么平凡了。但是说穿了也很简单，不同的向量可以表示同一个物理量。一维的情形，不同的数值之间只差一个倍数，所以很平凡。高维的情形，不同的向量之间差的就是（切空间上的）线性变换，所以没有那么平凡。[这里还想话痨几句，但是有点跑题，参见末尾的 P.S.]

回头来看看三维空间中的 “速度” 这个概念，有助于加深理解。三维空间中的速度，也是一个物理量，选定了坐标系和单位，也可以用三个数字来表示。但是日常生活中我们基本不会说，我的速度是 (3, 5, 7). 因为没有简单的选取坐标系的办法。同样地，在物理上，经常遇到需要变换坐标系的情形（因为任何坐标系的选取都是人为的，没有哪个坐标系更好）。

比如（三维）流形

上的一个点，选定了局部坐标系，就对应于三个数，换个坐标系，就得到另外三个数，这之间只相差一个坐标变换。如果有映射

, 对应于 “运动”，就可以讨论 “速度” 这个概念。

处的速度是什么呢? 作为一个物理量，它当然不是三个数字，而是切空间的映射

, 这里

是有现成的坐标的（读者不妨想想是啥），所以

就由切空间

中的一个向量给出，到这里还是一个抽象的向量，只有选了坐标系，才变成三个数（坐标值），而这三个数，是依赖于坐标选取的。所以切空间里的一个向量（“速度”），要用三个数

表示的话，其实包含了很多额外的 data:

，后面这个

就是坐标的选取。换一组坐标（也就是替代掉

）的话，这三个数字也会跟着变，这就是最基本的张量分析了。

3. 更复杂的物理量怎么表示?

有些物理量，并不简单地生活在切空间中，而是切空间上的线性变换，或者二次型（比如转动惯量，比如动能），或者落在切空间的对偶空间中，这种时候就考验线性代数的水平了。不用坐标系理解一个概念的能力越强，越容易理解张量。

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P.S. 上面说到不同的向量可以表示同一个物理量。更复杂的情形，就是高阶张量，比如切空间上的二次型，抽象地看是二次型，具体写出来是对称矩阵，变换起来用

之类的操作。之所以用这些变换了操作，也是因为不同的对称矩阵可以表示同一个物理量。

个人感受：很多时候一些人之所以不能理解张量，就是因为脑子里默默地做了一些等同 (identification), 比如把线性变换和矩阵当做同一个东西，而没有理解抽象的线性变换的概念。实际上不在 source 和 target 中选取一组基的话，一个抽象的线性变换是没有矩阵的。同理很多人不能理解没有选取坐标的一维流形，一想象脑子里就是数轴或者单位圆。忘掉坐标，想象一个抽象的 underlying manifold, 也是一种能力。