为什么乐理和数学如此不同？
错了错了，用数学推导乐理的这个思维完全反了，音乐要发展，音乐要解释，音乐要妥协！
1.音乐的思维模式
简单说的话，乐理更像是物理学科的推导方式，而不是数学学科的推导方式。
数学是怎么研究的？先假设一条公理，然后由这条公理推导出一系列定理，只要这条公理是成立的，推导出的定理一定全部成立。
物理学正好反过来。先研究现实中的一个物理现象，记录数据，然后找寻一条数学规则去解释它，最后得到一个理想化数学模型和公式，而且这个模型不能百分之百还原现象，只能解释在大多数情况下的这个物理现象。就像在低速状态下，牛顿就解释了低速运动定律，而在高速状态下必须要爱因斯坦了，然而这些理论和实际永远有偏差。所以物理学很重要的一点是：模型要妥协！
2.五度相生律
最早音乐的律制是源于数学，最重要的比率是 2/1（八度）和 3/2（五度），由此推导出一系列的音，这个叫五度相生律。
在单旋律音乐的时代，五度相生律可以说是最好的、最完美的、最数学的律制，那个时候的音乐，也就是“由数学创造的音乐”！
但是，音乐需要发展！由于五度相生律推导至循环圈 6 点位置时的升 F 与降 G 无法吻合，这已经是一个问题，但是单声部音乐可以忽略。到了后来文艺复兴巴洛克时期对多声部音乐和声方面的需求，在构建多声部音乐中的和声时，大家发现三音无法与根音、五音完美地结合在一起，因为在五度相生律中三音与根音的比率是 81/64！
所以为了让三音更协和，创造了纯律！
3.纯律
纯律中完美解决了三音的问题，使得三音与根音比率达到 5/4，多么完美！
这是一次妥协！
这里尚且可以认为音乐仍然是由“数学创造出来的”。
可是大家在用纯律的时候，也发现了重大缺陷，本该同样的全音，在纯律体系里居然会有两种比率，一种是 9/8，另一种是 10/9，分为大全音和小全音，另外五度音程中居然出现了比值比 3/2 还小的一种五度， 叫做狭五度！这样的律制，转调也不行啊！
这可愁怀了作曲家。
4.十二平均律
到了巴洛克晚期，新律制又出现了，最开始是在纯律的基础上把那些有偏差的音略微调整一点点，使得每个音听起来都没那么差，但是呢，每个音也都没那么完美，叫做 The Well-Tempered Clavier（德文 Das Wohltemperirte Klavier），准确翻译应叫做“好律”。
再到后来，为了方便转调，干脆直接用 2 开 12 次方，直接把音与音之间的比率“平均”，最终得到了十二平均律。
这又是一次妥协！
平均律在刚出现的时候，是遭到了很多人的反对的，他们认为这样的律不纯，比率居然是无理数，是对上帝的亵渎！这个时候巴赫出现了。
他强烈支持平均律，因为他认为平均律虽然听起来没那么完美，但是却解决了转调的问题，拿来写复调是多么爽的一件事！
于是就有了钢琴学子们噩梦般的书：
而且十二平均律巧妙就巧妙在，即使用了这样的无理数，居然算出来的频率与上面两种律法如此接近！
这简直可以说是最奇妙的巧合了！
5.为什么是 12 进制？
说到这里大家应该已经明白了，原来音乐的发展和数学的发展完全是不一样的。不能因为数学中是 10 进制，我们就去创造 10 进制的音乐，因为那样音与音之间的关系，根本不是音乐家想要的。最后采用 12 进制，一方面是因为巧合，另一方面是因为这是最好的模型了！
其实我觉得更加细思极恐的问题在于：音乐家脑海中早就有了音乐的样子，他们只是苦苦地在寻求用什么样的方式表达出来，而最后发现用这样的律法是最接近音乐原本的样子的，我们听到的音乐，是妥协过后的产物！也许在音乐家脑海中的音乐，真的比我们听到的要丰富成千上万倍吧！