初等函数之上有无定义「高等函数」？

函数只有初等函数和非初等函数的区别, 你非要叫高等函数那其实大家也都懂.

初等函数是由刘维尔(Joseph Liouville)划分的六大基本初等函数(反对幂三指常)复合而成的函数, 其他都叫非初等函数.

刘维尔又为什么要做这等绝地天通的伟业呢?

几百年前(1833)还没划分的时候, 那时候函数甚至都还没被定义为映射, 必须是表达式...

刘维尔你可能没听说过, 虽然他也算是那一时代领袖级的数学家

伽罗瓦的故事你应该知道, 刘维尔是第一个发现伽罗瓦理论的重要性的数学家, 后来他整理发表了伽罗瓦的遗作, 数学界这才认识到伽罗瓦的天才工作.

伽罗瓦理论代表了一种认识思想, 一个代数结构取决于生成元和之上定义的运算.

比如我们有个集合

$\mathbb{S}=\{0,1\}$

, 定义加法和逆运算减法, 就能得到一切整数, 我们记为

$\mathbb{Z}$

然后我们知道还有乘法和逆运算除法, 然后能得到一切有理数, 我们记为

$\mathbb{Q}$

我们还能加上开方, 但是即便是加上了开方, 也有无法表达的东西, 比如五次方程的求根公式.

这种思想同样适用于函数, 不过注意运算本身也是函数, 两者无需区分.

一般二元的才叫运算, 而一元的叫做算子, 加入运算后一般也要同时加入其逆运算.

我们用恒等函数和常函数作为生成元,

$\mathbb{S}=\left\{f(x)=x,f(x)=c\right\}$

定义加法减法, 这样得到的叫算术函数

加入乘法除法, 扩充后的集合叫代数函数

加入幂函数, 我们就能表达所有的根式.

加入微分运算, 计算

$\frac{\rm{d}}{\rm{d} x}$

的本征算子, 得到指数对数函数

计算

$equation?tex=$

的本征算子, 得到所有三角函数, 反三角函数.

虽然再计算

$\frac{\rm{d}^3}{\rm{d} x^3}$

还能得到一族函数, 不过这族函数肯定能被指数函数表达, 闲的没事干当然也能命名一族函数.

三角函数其实也一样, 不过人们早就知道三角函数和指数函数是一体的了, 两者区分只是为了习惯和方便.

这样子划分, 一切看起来非常美好...

那么问题来了, 微分运算的逆运算是积分, 加入积分算子会怎么样?

计算椭圆周长, 我们能列出表达式

$equation?tex=K%28k%29%3D%5Cint+ %7B0%7D%5E%7B%7B%7B%5Cfrac++%7B%5Cpi+%7D%7B2%7D%7D%7D%7D%7B%5Cfrac++%7B%7B%7B%5Crm+%7B%7Bd%7D%7D%7D%7D%5Ctheta+%7D%7B%7B%5Csqrt++%7B1 k%5E%7B2%7D%5Csin+%5E%7B2%7D%5Ctheta+%7D%7D%7D%7D$

人们惊奇的发现, 这似乎无法用现有的符号表达.

当然这不是什么问题, 我们可以暂记为

$K(x)$

然而很不幸, 这一族函数比三角函数还多, 字母都快不够用了...

另一边, 电磁学的发展, 他们经常要计算类似

$\operatorname {Si} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\rm{d}t$

的表达式

这个好像也没法表达啊, 那么又要发明一族函数...

你发明, 我也发明, 我们用的符号还不大一样, 我也看不懂了你在写啥...

这么搞下去估计得来个函数统一委员会来分配命名...

这时候刘维尔来了, 他就做了三件小事

第一个呢, 就是发展了微分域理论, 证明了以上函数确实无法被其他函数所表达

这也没啥, 大家都默认的事, 只是没有证明罢了...

第二个呢, 证明了无论你怎么加入新的函数, 总是会有更多的无法表达的积分式

这下麻烦大了, 无论怎么发明符号, 万能函数计划泡汤了

当时总有人觉得这么多函数总归会有一个万能函数统一起来, 结束这个混乱的悲剧.

第三个呢, 划定基本初等函数, 反对幂三指常

从此大家都学这六个就行了, 其他函数出现, 就得写一行标注这是个啥

你们一个领域内都懂这不算, 对于非业内人士, 得默认他们只懂初等函数.

后来随着领域的不断细分, 这个决策被认为是非常明智的, 因为符号真的不够用...

基本初等函数这个划分范畴划的非常好, 物理公式也很少会有超出这个范畴, 大家都还算满意...

当时被排除的函数也很多, 比如阶乘函数

$\Gamma(x)$

, 误差函数

$\rm{erf}(x)$

, 所有数论函数, 整个椭圆函数族, 等等, 现在还是约定俗成的使用沿用名.

后来提出的比较有名的还有黎曼

$\zeta(z)$

函数等等, 现在每年还在提出数不清的函数.

所幸你已经不用去学他们了

update 20190824:

误区 1: 超越函数不是初等函数

错, 事实上除了常函数与整数次幂函数, 其他都叫初等超越函数, 比如

$\sin(2),\arcsin{2},\ln(2),e^2...$

统统是超越数, 刘维尔虽然是超越数的提出者, 但划分的时候并没有这方面的考虑, 而且当时也无法判断这些数的超越性

误区 2: 绝对值函数不是初等函数

错,

$\rm{abs}(x) = |x| = \sqrt{x^2}$

难道不是基本初等函数复合而成的吗?

分段函数不一定不是初等函数, 事实上只要没有跳跃间断点就都能初等表达.

误区 3: 有解析式的就是初等函数

解析式这个词, 是欧拉用的, 现在的等价术语是封闭形式, 封闭解只要求闭包, 对具体的生成元没有要求, 初等函数符合正好符合而已.

在现代, 解析函数一般是指局部上由收敛幂级数给出的函数

如果你对非初等函数有兴趣的话, 有名有姓的主要有以下这几类:

阶乘函数族:

阶乘的推广, Gamma 函数

$equation?tex=%5CGamma%28z%29%3D%5Cint %7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bt%5E%7Bz 1%7D%7D%7B%5Cmathrm%7Be%7D%5Et%7D%5Crm%7Bd%7Dt$

继续推广得到多阶乘函数, PolyGamma

$equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+%5Cpsi+%5E%7B%28m%29%7D%28z%29%3D%28 1%29%5E%7Bm%2B1%7D%5C%2Cm%21%5Csum+ %7Bk%3D0%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%7B%5Cfrac+%7B1%7D%7B%28z%2Bk%29%5E%7Bm%2B1%7D%7D%7D%7D$

超阶乘, BarnesG

$equation?tex=%7B%5Cdisplaystyle+G%281%2Bz%29%3D%282%5Cpi+%29%5E%7Bz%2F2%7D%5Cexp+%5Cleft%28 %7B%5Cfrac+%7Bz%2Bz%5E%7B2%7D%281%2B%5Cgamma+%29%7D%7B2%7D%7D%5Cright%29%5C%2C%5Cprod+ %7Bk%3D1%7D%5E%7B%5Cinfty+%7D%5Cleft%5C%7B%5Cleft%281%2B%7B%5Cfrac+%7Bz%7D%7Bk%7D%7D%5Cright%29%5E%7Bk%7D%5Cexp+%5Cleft%28%7B%5Cfrac+%7Bz%5E%7B2%7D%7D%7B2k%7D%7D z%5Cright%29%5Cright%5C%7D%7D$

还有各种衍生, 比如 Beta/Pochhammer

误差函数族与双指数积分:

正态分布计算中衍生的误差函数, Erf

$equation?tex=%5Coperatorname+%7Berf%7D+%28x%29%3D%7B%5Cfrac+%7B2%7D%7B%5Csqrt+%7B%5Cpi+%7D%7D%7D%5Cint+ %7B0%7D%5E%7Bx%7De%5E%7B t%5E%7B2%7D%7D%5C%2Cdt$

注意到三角函数也是指数函数, 所以 Fresnel/Si/Ci 等也包含在内...

贝塞尔函数族

第一类贝塞尔函数(贝塞尔积分)
第二类贝塞尔函数(诺依曼函数)
第三类贝塞尔函数(汉克尔函数)
修正贝塞尔函数
球贝塞尔函数

只有 5 类, 属于少的, 至少和下面那些大族比起来很少...

椭圆函数与椭圆积分

Jacobi 定义了 12 个, Weierstrass 定义了 15 个, 还有其他数学家定义的, 加起来近百个...

以前属于和三角函数一样人人要掌握的内容

Zeta 函数与多对数函数

黎曼函数

$\zeta(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}$

玻色–爱因斯坦分布中提出的 PolyLog

$\operatorname {Li}_{s}(z)=\sum _{{k=1}}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}$

前几年我看 IS 老哥在推广超多重复合多对数函数(Multiple Polylogarithms)

还有多重黎曼函数, 他们开心就好....

多项式正交基:

Hermite/Chebyshev 之类的, 也就十几个, 问题是物理学家还在不断地发明新的....

Q 级数

新兴的一类级数, 上面那些函数推广一遍...

模形式

另一个推广方向, 再推广一遍...

统一函数族

为统一而生的函数, 但是只是制造了更多的悲剧, 我查公式都查错...

超几何函数(高斯超几何函数)

$\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\sum _{{n=0}}^{\infty }{a^{{(n)}}b^{{(n)}} \over c^{{(n)}}}\,{z^{n} \over n!}$

后来推广为广义超几何函数

$\ _{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&b_{3}&\ldots &b_{q}\end{matrix}};z\right]=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\prod _{i=1}^{p}(a_{i})^{(n)}}{\prod _{i=1}^{q}(b_{i})^{(n)}}}{\frac {z^{n}}{n!}}$

再后来推广为梅耶尔 G 函数

$G_{p,q}^{\,m,n}\!\left(\left.{\begin{matrix}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{matrix}}\;\right|\,z\right)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{L}{\frac {\prod _{j=1}^{m}\Gamma (b_{j}-s)\prod _{j=1}^{n}\Gamma (1-a_{j}+s)}{\prod _{j=m+1}^{q}\Gamma (1-b_{j}+s)\prod _{j=n+1}^{p}\Gamma (a_{j}-s)}}\,z^{s}\,ds$